En matemáticas, la teoría de la intersección es una de las ramas principales de la geometría algebraica, donde proporciona información sobre la intersección de dos subvariedades de una variedad dada. La teoría para variedades es más antigua, con raíces en el teorema de Bézout sobre curvas y en la teoría de la eliminación. Por otro lado, la teoría topológica alcanzó una forma definitiva más rápidamente.

La teoría de la intersección ha continuado desarrollándose, con un enfoque principal centrado en: ciclos fundamentales virtuales, anillos de intersección cuántica, teoría de Gromov-Witten y la extensión de la teoría de la intersección de esquemas a apilamientos.

Forma de intersección topológica

Para una variedad orientada conexa de dimensión , la forma de intersección se define en la -ésima cohomología (lo que habitualmente se denomina dimensión media) mediante la evaluación del producto copa sobre la clase fundamental en . Dicho con precisión, existe una forma bilineal

dada por

con

Se trata de una forma simétrica para par (de modo que es doblemente par), caso en el que la signatura de se define como la signatura de la forma, y ​​un producto exterior para impar (de modo que es simplemente par). Estos elementos pueden denominarse uniformemente formas ε simétricas, donde corresponde respectivamente a formas simétricas y antisimétricas. En ciertas circunstancias, es posible refinar esta forma a una forma ε cuadrática, aunque esto requiere datos adicionales, como un enmarcada del fibrado tangente. Es posible prescindir de la condición de orientabilidad y trabajar en su lugar con coeficientes .

Estas formas son invariantes topológicos importantes. Por ejemplo, un teorema de Michael Hartley Freedman establece que las 4-variedades compactas simplemente conexas están (casi) determinadas por sus formas de intersección (salvo homeomorfismos).

Mediante la dualidad de Poincaré, resulta que existe una forma de interpretar esta circunstancia geométricamente. Si es posible, se eligen subvariedades representativas -dimensionales y para los duales de Poincaré de y . Entonces, es la número de intersección orientado de y , lo que está bien definido porque, dado que las dimensiones de y suman la dimensión total de , estas se intersecan genéricamente en puntos aislados. Esto explica el término forma de intersección.

Teoría de la intersección en geometría algebraica William Fulton, en Intersection Theory (1984), escribió:

... si y son subvariedades de una variedad no singular , el producto de intersección debería ser una clase de equivalencia de ciclos algebraicos estrechamente relacionada con la geometría de cómo , y están situados en . Dos casos extremos han sido los más familiares. Si la intersección es propia, es decir, , entonces es una combinación lineal de las componentes irreducibles de , con coeficientes iguales a las multiplicidades de intersección. En el otro extremo, si es una subvariedad no singular, la fórmula de autointersección establece que está representado por la clase de Chern superior del haz normal de en .

Dar una definición de la multiplicidad de intersección en el caso general fue la principal preocupación del libro de 1946 de André Weil, Foundations of Algebraic Geometry. Los trabajos de B. L. van der Waerden en la década de 1920 ya habían abordado la cuestión; y en la escuela italiana de geometría algebraica las ideas eran bien conocidas, pero las cuestiones fundamentales no se trataron con el mismo espíritu.

Desplazamiento de ciclos Un mecanismo eficaz para la intersección de ciclos algebraicos, y requiere algo más que simplemente tomar la intersección de conjuntos de los ciclos en cuestión. Si los dos ciclos se encuentran en buena posición, entonces el producto de intersección, denotado como , debería coincidir con la intersección de conjuntos de las dos subvariedades. Sin embargo, los ciclos pueden estar en mala posición; como por ejemplo, dos rectas paralelas en el plano o un plano que contiene una recta (al intersecarse en el espacio tridimensional). En ambos casos, la intersección debería ser un punto, ya que, de nuevo, si se desplazara uno de los ciclos, ese sería el punto de intersección. Se dice que la intersección de dos ciclos y es propia si la codimension de la intersección (de conjuntos) es igual a la suma de las codimensiones de y , respectivamente; es decir, el valor esperado.

Por ello, se utiliza el concepto de desplazamiento de ciclos mediante unas relaciones de equivalencia en ciclos algebraicos adecuadas. La equivalencia debe ser lo suficientemente amplia como para que, dados dos ciclos cualesquiera y , existan ciclos equivalentes y tales que su intersección sea propia. Por otra parte, naturalmente, para un segundo par equivalente y , es necesario que sea equivalente a .

A efectos de la teoría de la intersección, la equivalencia racional es la más importante. En resumen, dos ciclos de dimensión en una variedad son racionalmente equivalentes si existe una función racional sobre una subvariedad de dimensión —es decir, un elemento del cuerpo de funciones o, equivalentemente, una función — tal que , donde se cuenta con multiplicidades. La equivalencia racional satisface las necesidades esbozadas anteriormente.

Multiplicidades de intersección

El principio rector en la definición de multiplicidades de intersección de ciclos es la continuidad en cierto sentido. Considérese el siguiente ejemplo elemental: la intersección de una parábola y el eje debería ser , ya que si uno de los ciclos se desplaza (aunque en un sentido no definido), hay precisamente dos puntos de intersección que convergen a cuando los ciclos se aproximan a la posición representada (la imagen puede inducir a error, dado que la intersección aparentemente vacía de la parábola y la recta parece tal porque solo se representan las soluciones reales de las ecuaciones).

La primera definición plenamente satisfactoria de las multiplicidades de intersección fue dada por Serre: sea la variedad ambiente lisa (o todos los anillos locales regulares). Sean además y dos subvariedades (cerradas, reducidas e irreducibles) tales que su intersección sea propia. La construcción es local; por tanto, las variedades pueden representarse mediante dos ideales y en el anillo de coordenadas de . Sea una componente irreducible de la intersección de conjuntos y su punto genérico. La multiplicidad de en el producto de intersección se define mediante

la suma alternada sobre la longitud sobre el anillo local de en de los grupos de torsión de los anillos cociente correspondientes a las subvariedades. A esta expresión a veces se la denomina fórmula Tor de Serre.

Observaciones: El primer sumando, la longitud de

es la estimación ingenua de la multiplicidad; sin embargo, como demuestra Serre, no es suficiente. La suma es finita porque el anillo local regular tiene dimensión Tor finita. Si la intersección de y no es propia, la multiplicidad anterior será cero. Si es propia, es estrictamente positiva (ambas afirmaciones no son evidentes a partir de la definición). Utilizando un argumento de sucesión espectral, se puede demostrar que .

Anillo de Chow

El anillo de Chow es el grupo de ciclos algebraicos módulo equivalencia racional junto con el siguiente producto de intersección conmutativo:

siempre que V y W se corten de manera propia, donde es la descomposición de la intersección de conjuntos en componentes irreducibles.

Autointersección Dadas dos subvariedades y , se puede tomar su intersección , pero también es posible —aunque más sutil— definir la autointersección de una única subvariedad.

Dada, por ejemplo, una curva en una superficie , su intersección consigo misma (como conjuntos) es simplemente ella misma: . Esto es claramente correcto, pero por otro lado insatisfactorio: dadas dos curvas distintas cualesquiera en una superficie (sin componentes en común), estas se intersecan en un conjunto de puntos que, por ejemplo, se pueden contar para obtener un número de intersección, y cabría desear hacer lo mismo para una curva dada. La analogía es que la intersección de curvas distintas equivale a multiplicar dos números ——, mientras que la autointersección equivale a elevar un número al cuadrado ——. Formalmente, la analogía se expresa mediante una forma bilineal simétrica (multiplicación) y una forma cuadrática (elevación al cuadrado).

Una solución geométrica a esto consiste en intersecar la curva no consigo misma, sino con una versión de ella misma ligeramente desplazada. En el plano, esto simplemente significa trasladar la curva en alguna dirección. Sin embargo, en general se habla de tomar una curva que sea linealmente equivalente respecto a y contar la intersección , obteniendo así un número de intersección, denotado como . Obsérvese que, a diferencia de lo que ocurre con curvas distintas y , los puntos de intersección reales no están definidos, ya que dependen de la elección de . Sin embargo, los puntos de autointersección de pueden interpretarse como puntos genéricos en , donde . Más propiamente, el punto de autointersección de es el punto genérico de , considerado con multiplicidad .

Alternativamente, se puede resolver (o motivar) este problema algebraicamente mediante la dualización y considerando la clase de . Esto proporciona un número y, al mismo tiempo, plantea la cuestión de una interpretación geométrica. Nótese que pasar a clases de cohomología es análogo a sustituir una curva por un sistema lineal.

Obsérvese que el número de autointersección puede ser negativo, como ilustra el siguiente ejemplo.

Ejemplos Considérese una recta en el plano proyectivo : tiene un número de autointersección igual a 1, dado que todas las demás rectas la cortan una vez; es posible desplazar a , y (para cualquier elección) de , de donde resulta que . En términos de formas de intersección, se dice que el plano posee una de tipo (solo existe una clase de rectas y todas ellas se cortan entre sí).

Nótese que en el planoafín se podría desplazar a una recta paralela, por lo que (desde un punto de vista geométrico) el número de puntos de intersección depende de la elección del desplazamiento. Se suele decir que el plano afín no posee una buena teoría de intersección, y que la teoría de intersección en variedades no proyectivas es mucho más compleja.

Una recta en una (que también puede interpretarse como la cuádrica no singular en ) tiene autointersección , ya que una recta puede desplazarse fuera de sí misma (por estar en una superficie reglada). En términos de formas de intersección, se dice que tiene una de tipo ; existen dos clases básicas de rectas que se intersecan en un punto (), pero tienen autointersección cero (sin términos o ).

Explosiones Un ejemplo clave de números de autointersección es la curva excepcional de una explosión, que es una operación central en la geometría birracional. Dada una superficie algebraica , realizar una explosión en un punto crea una curva . Esta curva es reconocible por su genus, que es , y por su número de autointersección, que es (aunque esto no es evidente). Nótese que, como corolario, y son superficies minimales (no son explosiones), ya que no poseen curvas con autointersección negativa. De hecho, el teorema de contracción de Castelnuovo establece lo recíproco: toda curva es la curva excepcional de alguna explosión (puede ser contraída o implosionada).

Véase también Grupo de Chow (en inglés) Teorema de Grothendieck-Riemann-Roch (en inglés) Geometría enumerativa (en inglés)

Referencias

Bibliografía

Teoría de la intersección