En geometría algebraica, una superficie de Barth es una de las superficies nodales complejas en 3 dimensiones con un gran número de puntos dobles descubierta por . Dos ejemplos son la séxtica de Barth de grado 6 con 65 puntos dobles y la décica de Barth de grado 10 con 345 puntos dobles.
Para superficies de grado 6 en P3, demostró que 65 es el número máximo posible de puntos dobles. La séxtica de Barth es un contraejemplo de una afirmación incorrecta realizada por Francesco Severi en 1946, según la cual 52 era el número máximo posible de puntos dobles.
Definición algebraica Una superficie de Barth se define como:
dada como la intersección completa de 6 cuádricas
y
donde tal que
Descripción informal de los 65 puntos dobles ordinarios de la séxtica de Barth
La séxtica de Barth puede visualizarse en tres dimensiones como una figura que presenta 50 puntos dobles ordinarios (nodos) finitos y 15 infinitos.
Observando la figura, los 50 puntos dobles ordinarios finitos están dispuestos como los vértices de 20 formas aproximadamente tetraédricas, orientadas de tal manera que las bases de estas formas de cuatro lados "orientadas hacia afuera" constituyen las caras triangulares de un icosidodecaedro regular. A estos 30 vértices icosidodecaédricos se suman los vértices superiores de las 20 formas tetraédricas. Estos 20 puntos son, a su vez, los vértices de un dodecaedro regular concéntrico circunscrito al icosidodecaedro interior. En conjunto, estos constituyen los 50 puntos dobles ordinarios finitos de la figura.
Los 15 puntos dobles ordinarios restantes en el infinito corresponden a las 15 líneas que pasan por los vértices opuestos del icosidodecaedro inscrito; las 15 líneas se cortan también en el centro de la figura..
Véase también Superficie de Endrass (en inglés) Superficie de Sarti (en inglés) Superficie de Togliatti (en inglés)
Referencias
Bibliografía . . .
Enlaces externos
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