En geometría algebraica, un sistema lineal de divisores es una generalización algebraica de la noción geométrica de una familia de curvas. La dimensión del sistema lineal corresponde al número de parámetros de la familia.

Estos surgieron inicialmente bajo la forma de un sistema lineal de curvas algebraicas en el plano proyectivo. Adquirieron una forma más general mediante una generalización gradual, de modo que se pudo hablar de equivalencia lineal de divisores D en un esquema general o incluso en un espacio anillado .Grothendieck, Alexandre; Dieudonné, Jean. EGA IV, 21.3.

Los sistemas lineales de dimensión 1, 2 o 3 se denominan lápiz, retículo (o *red*) y trama (o *web*), respectivamente.

Una aplicación determinada por un sistema lineal se denomina a veces aplicación de Kodaira.

Definiciones Dada una variedad general , dos divisores son linealmente equivalentes si

para alguna función racional no nula en , o dicho de otro modo, un elemento no nulo del cuerpo de funciones . Aquí, denota el divisor de ceros y polos de la función .

Nótese que si tiene puntos singulares, la noción de divisor es intrínsecamente ambigua (divisores de Cartier, divisores de Weil: véase divisor en geometría algebraica). En ese caso, la definición suele formularse con mayor cuidado (utilizando haces invertibles o haces de vectores holomorfos); véase más adelante.

Un sistema lineal completo sobre se define como el conjunto de todos los divisores efectivos linealmente equivalentes a un divisor dado . Se denota como . Sea el fibrado en rectas asociado a . En el caso de que sea una variedad proyectiva no singular, el conjunto está en biyección natural con Hartshorne, R. 'Algebraic Geometry', proposition II.7.2, page 151, proposition II.7.7, page 157, page 158, exercise IV.1.7, page 298, proposition IV.5.3, page 342 al asociar el elemento de con el conjunto de múltiplos no nulos de (esto está bien definido, ya que dos funciones racionales no nulas tienen el mismo divisor si y solo si son múltiplos no nulos una de la otra). Por tanto, un sistema lineal completo es un espacio proyectivo.

Un sistema lineal es entonces un subespacio proyectivo de un sistema lineal completo. Por consiguiente, corresponde a un subespacio vectorial W de La dimensión del sistema lineal es su dimensión como espacio proyectivo. De ahí que .

Los sistemas lineales también pueden introducirse mediante el lenguaje de un haz de rectas o de un haz invertible. En esos términos, los divisores (o más precisamente, las clases de divisores de Cartier) corresponden a fibrados en rectas, y la equivalencia lineal de dos divisores significa que los fibrados en rectas correspondientes son isomorfos.

Ejemplos

Equivalencia lineal Considérese el fibrado en rectas sobre cuyas secciones definen una superficie cuádrica. El divisor asociado es linealmente equivalente a cualquier otro divisor definido por el lugar de anulación de algún mediante la función racional (Proposición 7.2). Por ejemplo, el divisor asociado al lugar de anulación de es linealmente equivalente al divisor asociado al lugar de anulación de . Entonces, existe la equivalencia de divisores

Sistemas lineales en curvas Uno de los sistemas lineales completos importantes en una curva algebraica de genus viene dado por el sistema lineal completo asociado al divisor canónico , denotado . Esta definición se deriva de la proposición II.7.7 de Hartshorne, ya que todo divisor efectivo en el sistema lineal proviene de los ceros de alguna sección de .

Curvas hiperelípticas Una aplicación de los sistemas lineales se encuentra en la clasificación de curvas algebraicas. Una curva hiperelíptica es una curva con un morfismo de grado . Para el caso , todas las curvas son hiperelípticas: el teorema de Riemann-Roch da entonces el grado de , que es y . Por tanto, existe una aplicación de grado hacia .

gdr es un sistema lineal sobre una curva que es de grado y dimensión . Por ejemplo, las curvas hiperelípticas tienen un que es inducido por la aplicación . De hecho, las curvas hiperelípticas tienen un único según la proposición 5.3. Otro conjunto de ejemplos relacionados son las curvas con un , llamadas curvas trigonales. De hecho, cualquier curva tiene un para .

Sistemas lineales de hipersuperficies en un espacio proyectivo Considérese el fibrado en rectas sobre . Si se toman secciones globales , entonces se puede considerar su proyectivización . Este elemento es isomorfo a , donde

Entonces, utilizando cualquier embebido , se puede construir un sistema lineal de dimensión .

Sistema lineal de cónicas

Sistema lineal característico de una familia de curvas El sistema lineal característico de una familia de curvas sobre una superficie algebraica Y, para una curva C de la familia, es un sistema lineal formado por las curvas de la familia que son infinitamente próximas a C.

En términos modernos, es un subsistema del sistema lineal asociado al haz normal a . Cabe señalar que un sistema característico no tiene por qué ser completo. De hecho, la cuestión de la completitud fue estudiada extensamente por la escuela italiana sin llegar a una conclusión satisfactoria. Hoy en día, la teoría de Kodaira-Spencer puede utilizarse para responder a la pregunta sobre la completitud.

Otros ejemplos El teorema de Cayley-Bacharach es una propiedad de un haz de cúbicas que establece que el lugar geométrico base satisface una propiedad de tipo "8 implica 9": cualquier cúbica que contenga 8 de los puntos contiene necesariamente el noveno.

Sistemas lineales en geometría birracional

En general, los sistemas lineales se convirtieron en una herramienta fundamental de la geometría birracional tal como la practicaba la escuela italiana de geometría algebraica. Las exigencias técnicas llegaron a ser muy rigurosas, y desarrollos posteriores aclararon diversas cuestiones. El cálculo de las dimensiones relevantes —lo que podría denominarse el problema de Riemann-Roch— puede formularse mejor en términos de álgebra homológica. El efecto de trabajar sobre variedades con puntos singulares es poner de manifiesto una diferencia entre los divisores de Weil (en el grupo abeliano libre generado por subvariedades de codimensión uno) y los divisores de Cartier provenientes de secciones de haces invertibles.

A la escuela italiana le gustaba reducir la geometría sobre una superficie algebraica a la de sistemas lineales definidos por superficies en el espacio tridimensional. Oscar Zariski escribió su célebre libro Algebraic Surfaces (Superficies algebraicas) para intentar unificar los métodos, que involucraban sistemas lineales con puntos base fijos. Surgió una controversia —una de las últimas cuestiones en el conflicto entre los puntos de vista antiguo y nuevo en geometría algebraica— en torno al sistema lineal característico de una familia algebraica de curvas sobre una superficie algebraica, definido por Henri Poincaré.

Lugar base El lugar base de un sistema lineal de divisores sobre una variedad se refiere a la subvariedad de puntos comunes a todos los divisores del sistema lineal. Geométricamente, esto corresponde a la intersección común de las variedades. Los sistemas lineales pueden tener o no un lugar base; por ejemplo, el haz de rectas afines no tiene intersección común, pero dadas dos cónicas (no degeneradas) en el plano proyectivo complejo, estas se cortan en cuatro puntos (contando multiplicidades) y, por tanto, el haz que definen tiene dichos puntos como lugar base.

Más precisamente, supóngase que es un sistema lineal completo de divisores sobre una variedad . Considérese la intersección

donde denota el soporte de un divisor, y la intersección se toma sobre todos los divisores efectivos del sistema lineal. Este es el lugar base de (al menos como conjunto: puede haber consideraciones más sutiles de la teoría de esquemas sobre cuál debería ser la estructura de haces de ).

Una aplicación de la noción de lugar base se da en la efectividad numérica de una clase de divisor de Cartier (es decir, un sistema lineal completo). Supóngase que es una clase de este tipo sobre una variedad , y una curva irreducible sobre . Si no está contenido en el lugar base de , entonces existe algún divisor en la clase que no contiene a y, por tanto, lo interseca propiamente. Resultados básicos de la teoría de la intersección indican entonces que debe cumplirse . La conclusión es que, para verificar si una clase de divisores es numericamente efectiva, basta con calcular el número de intersección con las curvas contenidas en el lugar base de la clase. Así, a grandes rasgos, cuanto más pequeño sea el lugar base, más probable será que la clase sea numéricamente efectiva.

En la formulación moderna de la geometría algebraica, un sistema lineal completo de divisores (de Cartier) sobre una variedad se considera como un fibrado en rectas sobre . Desde esta perspectiva, el lugar base es el conjunto de ceros comunes de todas las secciones de . Una consecuencia sencilla es que el fibrado es generado globalmente si y solo si el lugar base es vacío.

La noción de lugar base también tiene sentido para un sistema lineal no completo: su lugar base sigue siendo la intersección de los soportes de todos los divisores efectivos del sistema.

Ejemplo Considérese el lápiz de Lefschetz definido por dos secciones genéricas . Así, viene dado por el esquema

Esto tiene asociado un sistema lineal de divisores, ya que cada polinomio —para un fijo— es un divisor en . Entonces, el lugar base de este sistema de divisores es el esquema definido por el lugar de anulación de , y por tanto,

Aplicación determinada por un sistema lineal

Cada sistema lineal en una variedad algebraica determina un morfismo desde el complemento del lugar geométrico base hacia un espacio proyectivo de la dimensión del sistema, de la siguiente manera (en cierto sentido, el recíproco también es cierto; véase la sección siguiente).

Sea L un fibrado en rectas sobre una variedad algebraica X y un subespacio vectorial de dimensión finita. Para mayor claridad, considérese primero el caso en que V carece de puntos base, o dicho de otro modo, la aplicación natural es sobreyectiva (aquí, k es el cuerpo base). O equivalentemente, es sobreyectiva. Por tanto, denotando al fibrado vectorial trivial y trasladando la sobreyección a la construcción Proy, se obtiene un embebido cerrado:

donde , a la derecha, representa la invariancia del haz proyectivo bajo una torsión por un fibrado en rectas. Componiendo i con una proyección, se obtiene la aplicación:

Cuando el lugar geométrico base de V no es vacío, el razonamiento anterior sigue siendo válido si se sustituye el de la suma directa por un haz ideal que define el lugar geométrico base, y se reemplaza X por la explosión del mismo a lo largo del lugar geométrico base B (en sentido de esquemas). Precisamente, como se ha indicado, existe una sobreyección , donde es el haz de ideales de B, lo cual da lugar a:

Dado que es un subconjunto abierto de , se obtiene la aplicación:

Por último, cuando se elige una base de V, la exposición anterior resulta más concreta (y ese es el estilo empleado en *Algebraic Geometry* de Hartshorne).

Sistema lineal determinado por una aplicación a un espacio proyectivo

Cada morfismo de una variedad algebraica a un espacio proyectivo determina un sistema lineal sin puntos base en la variedad. Debido a esto, a menudo se utilizan indistintamente los términos sistema lineal sin puntos base y aplicación a un espacio proyectivo.

Para un embebido cerrado de variedades algebraicas, existe un retroceso de un sistema lineal en a , definido como (página 158).

O(1) en una variedad proyectiva Una variedad proyectiva embebida en posee un sistema lineal natural que determina una aplicación al espacio proyectivo desde . Esta aplicación envía un punto a su punto correspondiente .

Véase también Teoría de Brill-Noether Lápiz de Lefschetz (en inglés) Haz de partes principales (en inglés)

Referencias