En matemáticas, una superficie elíptica es una superficie que posee una fibración elíptica; en otras palabras, un morfismo propio con fibras conectadas hacia una curva algebraica tal que casi todas las fibras son curvas suaves de genus 1. Sobre un cuerpo algebraicamente cerrado, como los números complejos, estas fibras son curvas elípticas, tal vez sin un origen elegido. Esto equivale a que la fibra genérica sea una curva suave de género uno. Esto se deduce del cambio de base propio.
Se supone que la superficie y la curva base son no singulares (variedad compleja o esquema regular, según el contexto). Las fibras que no son curvas elípticas se denominan fibras singulares y fueron clasificadas por Kunihiko Kodaira. Tanto las fibras elípticas como las singulares son importantes en teoría de cuerdas, especialmente en teoría F.
Las superficies elípticas constituyen una amplia clase de superficies que incluye muchos ejemplos interesantes y se comprenden relativamente bien en las teorías de variedades complejas y de 4-variedades suaves. Son similares a (es decir, guardan analogías con) las curvas elípticas sobre cuerpos numéricos.
Ejemplos El producto de cualquier curva elíptica con cualquier curva es una superficie elíptica (sin fibras singulares). Todas las superficies de dimensión de Kodaira 1 son superficies elípticas. Toda superfice de Enriques compleja es elíptica y posee una fibración elíptica sobre la recta proyectiva. Superficie de Kodaira Superficie de Dolgachev Superficie modular de Shioda
Tabla de fibras singulares de Kodaira La mayoría de las fibras de una fibración elíptica son curvas elípticas (no singulares). Las fibras restantes se denominan fibras singulares: existe un número finito de ellas y cada una consiste en una unión de curvas racionales, posiblemente con singularidades o multiplicidades distintas de uno (por lo que las fibras pueden ser esquemas no reducidos). Kodaira y Néron clasificaron independientemente las posibles fibras, y se puede utilizar el algoritmo de Tate para determinar el tipo de fibra de una curva elíptica sobre un cuerpo de números.
La siguiente tabla enumera las posibles fibras de una fibración elíptica minimal ("ninimal" significa, a grandes rasgos, que no puede factorizarse a través de una "más pequeña"; más precisamente, las fibras singulares no deben contener curvas racionales suaves con número de autointersección −1). La tabla indica: El símbolo de Kodaira para la fibra El símbolo de André Néron para la fibra El número de componentes irreducibles de la fibra (todas racionales excepto las del tipo I0) La matriz de intersección de las componentes. Esta es una matriz cero de 1×1 o una matriz de Cartan, de la cual se proporciona su diagrama de Dynkin Las multiplicidades de cada fibra se indican en el diagrama de Dynkin.
KodairaNéronComponentesMatriz de intersecciónDiagrama de DynkinFibraI0A1 (elíptica)0I1B11 (con punto doble)0I2B22 (2 puntos de intersección distintos)afín A1Iv (v≥2)Bvv (v puntos de intersección distintos)afín Av-1mIv (v≥0, m≥2)Iv con multiplicidad mIIC11 (con cúspide)0IIIC22 (se cortan en un punto de orden 2)afín A1IVC33 (todos concurren en un punto)afín A2I0*C45afín D4Iv* (v≥1)C5,v5+vafín D4+vIV*C67afín E6III*C78afín E7II*C89afín E8
Esta tabla se obtiene de la siguiente manera. Argumentos geométricos demuestran que la matriz de intersección de las componentes de la fibra debe ser semidefinida negativa, conexa, simétrica y no tener entradas diagonales iguales a −1 (debido a la minimalidad). Tal matriz debe ser la matriz nula o un múltiplo de la matriz de Cartan de un diagrama de Dynkin afín de tipo ADE.
La matriz de intersección determina el tipo de fibra, con tres excepciones: Si la matriz de intersección es 0, la fibra puede ser una curva elíptica (tipo I0), o bien tener un punto doble (tipo I1) o una cúspide (tipo II). Si la matriz de intersección es afín A1, hay 2 componentes con multiplicidad de intersección 2. Pueden encontrarse en 2 puntos de orden 1 (tipo I2) o en un punto de orden 2 (tipo III). Si la matriz de intersección es afín A2, hay 3 componentes, cada una de las cuales interseca a las otras dos. Pueden encontrarse por pares en 3 puntos distintos (tipo I3) o coincidir todas en el mismo punto (tipo IV).
Monodromía
La monodromía alrededor de cada fibra singular es una clase de conjugación bien definida en el grupo SL(2,Z) de matrices enteras de 2 × 2 con determinante 1. La monodromía describe cómo cambia el primer grupo de homología de una fibra suave (que es isomorfo a Z2) al rodear una fibra singular. Los representantes de estas clases de conjugación asociadas a las fibras singulares vienen dados por:Barth et al. (2004), section V.10, Tables 5 and 6; Cossec and Dolgachev (1989), Corollary 5.2.3.
FibraMatriz de intersecciónMonodromíaInvariante *j*Estructura de grupo en una localización suaveIνafín Aν-1II00IIIafín A11728IVafín A20I0*afín D4en Iν* (ν≥1)afín D4+ν si ν es par, si ν es imparIV*afín E60III*afín E71728II*afín E80
Para fibras singulares de tipo II, III, IV, I0*, IV*, III* o II*, la monodromía tiene orden finito en SL(2,Z). Esto refleja el hecho de que una fibración elíptica tiene buena reducción potencial en dicha fibra. Es decir, tras un recubrimiento finito ramificado de la curva base, la fibra singular puede sustituirse por una curva elíptica suave. La curva suave resultante se describe mediante el j-invariante de la tabla. Sobre los números complejos, la curva con invariante j igual a 0 es la única curva elíptica cuyo grupo de automorfismos tiene orden 6, y la curva con invariante j igual a 1728 es la única curva elíptica cuyo grupo de automorfismos tiene orden 4. Todas las demás curvas elípticas tienen un grupo de automorfismos de orden 2.
Para una fibración elíptica con una sección, denominada fibración elíptica jacobiana, el lugar liso de cada fibra posee una estructura de grupo. En el caso de las fibras singulares, dicha estructura de grupo sobre una localización suave se describe en la tabla, suponiendo por conveniencia que el cuerpo base es el de los números complejos (para una fibra singular cuya matriz de intersección viene dada por un diagrama de Dynkin afín , el grupo de componentes del lugar suave es isomorfo al centro del grupo de Lie simple simplemente conexo asociado al diagrama de Dynkin ). Conocer la estructura de grupo de las fibras singulares resulta útil para calcular el grupo de Mordell-Weil de una fibración elíptica (el grupo de secciones), y en particular su subgrupo de torsión.
Fórmula del haz canónico
Para comprender cómo se integran las superficies elípticas en la clasificación de superficies, es importante calcular el haz canónico de una superficie elíptica minimal f: X → S. En el contexto de los números complejos, Kodaira demostró la siguiente fórmula del haz canónico:Barth et al. (2004), Corollary III.12.3.
Aquí, las fibras múltiples de f (si las hay) se expresan como , para un entero mi mayor o igual a 2 y un divisor Di cuyos coeficientes tienen máximo común divisor igual a 1, y donde L es un cierto fibrado en rectas sobre la curva lisa S. Si S es proyectiva (o, equivalentemente, compacta), entonces el grado de L queda determinado por las características de Euler holomorfas de X y S: deg(L) = χ(X,OX) − 2χ(S,OS). La fórmula del fibrado canónico implica que KX es Q-linealmente equivalente a la *implosión* de un cierto Q-divisor sobre S. Resulta esencial en este caso que la superficie elíptica X → S sea minimal.
Basándose en el trabajo de Kenji Ueno, Takao Fujita (1986) presentó una variante útil de la fórmula del haz canónico, mostrando cómo KX depende de la variación de las fibras suaves.Kollár (2007), section 8.2. Concretamente, existe una equivalencia Q-lineal:
donde el divisor discriminante BS es un Q-divisor efectivo explícito en S asociado a las fibras singulares de f, y el divisor de módulos MS es , donde j: S → P1 es la función que proporciona el j-invariante de las fibras suaves. Así, MS es una clase de equivalencia Q-lineal de Q-divisores, utilizando la identificación entre el grupo de clases de divisores Cl(S) y el grupo de Picard Pic(S. En particular, para S proyectiva, el divisor de módulos MS tiene grado no negativo, y tiene grado cero si y solo si la superficie elíptica es isotrivial, lo que significa que todas las fibras suaves son isomorfas.
El divisor discriminante en la fórmula de Fujita se define mediante
,
donde c(p) es el umbral log-canónico . Este es un número racional explícito entre 0 y 1, que depende del tipo de fibra singular. Explícitamente, el lct es 1 para una fibra suave o de tipo , y es 1/m para una fibra múltiple , 1/2 para , 5/6 para II, 3/4 para III, 2/3 para IV, 1/3 para IV*, 1/4 para III* y 1/6 para II*. La fórmula del haz canónico (en la forma de Fujita) ha sido generalizada por Yujiro Kawamata y otros a familias de variedades de Calabi-Yau de cualquier dimensión.Kollár (2007), section 8.5.
Transformaciones logarítmicas Una transformación logarítmica (de orden m con centro en p) de una superficie elíptica o de una fibración convierte una fibra de multiplicidad 1 sobre un punto p del espacio base en una fibra de multiplicidad m. Este proceso es reversible, por lo que todas las fibras de alta multiplicidad pueden transformarse en fibras de multiplicidad 1; esto permite eliminar todas las fibras múltiples.
Las transformaciones logarítmicas pueden ser bastante drásticas: pueden alterar la dimensión de Kodaira y convertir superficies algebraicas en superficies no algebraicas.
Ejemplo:
Sea L el retículo Z+iZ de C, y sea E la curva elíptica C/L. Entonces, la aplicación de proyección de E×C a C constituye una fibración elíptica. Se muestra cómo sustituir la fibra sobre 0 por una fibra de multiplicidad 2.
Existe un automorfismo de E×C de orden 2 que envía (c,s) a (c+1/2, −s). Se define X como el cociente de E×C bajo la acción de este grupo. Se dota a X de una estructura de espacio fibrado sobre C mediante la aplicación que envía (c,s) a s2. Se Construye un isomorfismo entre X (excluyendo la fibra sobre 0) y E×C (excluyendo la fibra sobre 0) enviando (c,s) a (c-log(s)/2πi,s2). Las dos fibras sobre 0 son curvas elípticas no isomorfas, por lo que la fibración X ciertamente no es isomorfa a la fibración E×C sobre todo C.
Entonces, la fibración X tiene una fibra de multiplicidad 2 sobre 0 y, por lo demás, se asemeja a E×C. Se dice entonces que X se obtiene aplicando una transformación logarítmica de orden 2 a E×C con centro en 0.
Véase también Clasificación de Enriques-Kodaira Modelo minimal de Néron (en inglés)
Referencias
Bibliografía
Categoría:Superficies complejas Categoría:Geometría birracional Categoría:Superficies algebraicas