En matemáticas y lógica, el término unicidad se refiere a la propiedad de ser el único objeto que satisface una determinada condición. Este tipo de cuantificación se conoce como cuantificación de unicidad o cuantificación existencial única, y suele denotarse con los símbolos "∃!", o "∃=1". Se define como cuantificador existencial un objeto con la propiedad dada, y todos los objetos con esta propiedad son iguales.

Por ejemplo, la proposición formal:

puede leerse como "existe exactamente un número natural tal que ".

Demostración de unicidad

La técnica más común para demostrar la existencia única de un objeto consiste en probar primero la existencia de la entidad con la condición deseada y, a continuación, probar que cualesquiera dos entidades de este tipo (por ejemplo, y ) deben ser iguales entre sí (es decir, ).

Por ejemplo, para demostrar que la ecuación tiene exactamente una solución, se comenzaría por establecer que existe al menos una solución, a saber, 3. La demostración de esta parte consiste simplemente en verificar que se cumple la siguiente ecuación:

Para establecer la unicidad de la solución, se procede asumiendo que existen dos soluciones, y , que satisfacen . Es decir:

Entonces, como la igualdad es una relación transitiva,

Restando 2 a ambos lados se obtiene:

lo que completa la demostración de que 3 es la solución única de .

En general, tanto la existencia (existe al menos un objeto) como la unicidad (existe como máximo un objeto) deben probarse para concluir que existe exactamente un objeto que satisface dicha condición.

Una forma alternativa de probar la unicidad es demostrar que existe un objeto que satisface la condición, y luego demostrar que todo objeto que satisface la condición debe ser igual a .

Reducción a la cuantificación existencial y universal ordinaria La cuantificación de la unicidad puede expresarse en términos de los cuantificadores existencial y universal como predicados lógicos, definiendo la fórmula como:

que es lógicamente equivalente a:

Una definición equivalente que separa las nociones de existencia y unicidad en dos cláusulas, a costa de la brevedad, es:

Generalizaciones La cuantificación de la unicidad puede generalizarse en cuantificación numerable (o cuantificación numérica). Esto incluye tanto la cuantificación de la forma existen exactamente "k" objetos tales que… como existen infinitos objetos tales que… y existen solo un número finito de objetos tales que…. La primera de estas formas se puede expresar mediante cuantificadores ordinarios, pero las dos últimas no se pueden expresar en lógica de primer orden ordinaria.Esto es consecuencia del teorema de compacidad.

La unicidad depende de una noción de igualdad. Al flexibilizar esta noción a una relación de equivalencia más general, se obtiene la cuantificación de la unicidad salvo que implica equivalencia (en este marco, la unicidad regular es unicidad salvo igualdad). Esto se denomina esencialmente único. Por ejemplo, muchos conceptos en teoría de categorías se definen como únicos salvo isomorfismos.

El signo de exclamación también puede usarse como símbolo de cuantificación independiente, como en , donde . Por ejemplo, puede usarse sin problemas en el axioma de reemplazo, en lugar de .

Véase también Esencialmente único (en inglés) Extensión por definición (en inglés) One-hot Conjunto unitario Teorema de unicidad

Referencias

Bibliografía

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