En matemáticas, la superficie de Bolza, o alternativamente, la curva de Bolza algebraica compleja (introducida por ), es una superficie de Riemann compacta de genus con el orden más alto posible del grupo de automorfismos conformal en este género, a saber, de orden 48 (el grupo lineal general de matrices sobre el cuerpo finito ). Su grupo de automorfismos completo (incluyendo reflexiones) es el producto semidirecto de orden 96. (GAP identifica estos dos grupos como SmallGroup(48,29) y SmallGroup(96,193)). Un modelo afín para la superficie de Bolza se puede obtener como el lugar geométrico de la ecuación
en . La superficie de Bolza es la finalización suave de esta curva afín. La curva de Bolza también surge como una doble cubierta ramificada de la esfera de Riemann con puntos de ramificación en los seis vértices de un octaedro regular inscrito en la esfera. Esto se puede observar en la ecuación anterior, ya que el lado derecho se anula o se vuelve infinito en los seis puntos .
La superficie de Bolza ha atraído la atención de los físicos, ya que proporciona un modelo relativamente simple para el caos cuántico. En este contexto, se la suele denominar modelo de Hadamard-Gutzwiller. La teoría espectral del operador de Laplace-Beltrami que actúa sobre funciones en la superficie de Bolza es de interés tanto para matemáticos como para físicos, ya que se conjetura que la superficie maximiza el primer autovalor positivo del laplaciano entre todas las superficies de Riemann compactas y cerradas de género con curvatura negativa constante. Los autovectores del operador de Laplace-Beltrami son análogos cuánticos de las órbitas periódicas, y como análogo clásico de esta conjetura, se sabe que de todas las superficies hiperbólicas de género , la superficie de Bolza maximiza la longitud de la geodésica cerrada más corta, o sístole .
Superficie triangular
La superficie de Bolza es conformemente equivalente a una superficie triangular (véase triángulo de Schwarz). Más específicamente, el grupo fuchsiano que define la superficie de Bolza es un subgrupo del grupo generado por reflexiones en los lados de un triángulo hiperbólico con ángulos . El grupo de isometrías que preservan la orientación es un subgrupo del subgrupo de índice-dos del grupo de reflexiones, que consiste en productos de un número par de reflexiones, cuya presentación abstracta se expresa en términos de generadores y relaciones y . El grupo fuchsiano que define la superficie de Bolza es también un subgrupo del grupo triangular (3,3,4), que a su vez es un subgrupo de índice 2 en el grupo triangular . El grupo no tiene una realización como cociente de orden del grupo de elementos de norma de un álgebra de cuaterniones, pero el grupo sí.
Bajo la acción de sobre el disco de Poincaré, el dominio fundamental de la superficie de Bolza es un octágono regular con ángulos y vértices en:
donde . Los lados opuestos del octágono se identifican bajo la acción del grupo fuchsiano. Sus generadores son las matrices:
donde y , junto con sus inversas. Los generadores satisfacen la relación:
Estos generadores están conectados al espectro de longitud, que es el conjunto de todas las longitudes posibles de bucles geodésicos. La longitud más corta de este tipo se denomina sístole de la superficie. La sístole de la superficie de Bolza es:
El elemento del espectro de longitudes para la superficie de Bolza viene dado por:
donde recorre el conjunto de los enteros positivos (omitiendo 4, 24, 48, 72, 140 y otros valores superiores) y donde es el único entero impar que minimiza:
Es posible obtener una forma cerrada equivalente de la sístole directamente a partir del grupo de triángulos. Existen fórmulas para calcular explícitamente las longitudes de los lados de un triángulo (2,3,8). La sístole es igual a cuatro veces la longitud del lado de longitud media en un triángulo (2,3,8), es decir:
Las longitudes geodésicas también aparecen en las coordenadas de Fenchel-Nielsen de la superficie. Un conjunto de coordenadas de Fenchel-Nielsen para una superficie de género 2 consta de tres pares, de manera que cada par representa una longitud y una torsión. Quizás el conjunto de coordenadas más simple para la superficie de Bolza sea , donde .
También existe un conjunto de coordenadas simétrico , donde las tres longitudes son la sístole y las tres torsiones están dadas por
.
Simetrías de la superficie
La simetría de la superficie de Bolza puede entenderse en términos de su teselación mediante 16 triángulos hiperbólicos equiláteros, 8 por vértice. Centrándose en una elección particular entre los 16 triángulos, a la que se va denominar T, cualquier simetría de la superficie de Bolza debe llevar T a uno de los 16 triángulos (posiblemente a sí misma). Este triángulo se denomina T'. El triángulo T puede transformarse en T' de seis maneras distintas que conservan la distancia, una por cada permutación de sus vértices. Esto demuestra que existen 6 × 16 = 96 simetrías en total.
Una elección común del dominio fundamental para la superficie de Bolza es un octágono regular en el disco de Poincaré; las cuatro acciones simétricas que generan el grupo de simetría (completo) son:
R – rotación de orden 8 alrededor del centro del octágono; S – reflexión respecto a la recta real; T – reflexión respecto al lado de uno de los 16 triángulos (4,4,4) que teselan el octágono.n; U – rotación de orden 3 alrededor del centro de un triángulo (4,4,4).
Estas se muestran con líneas gruesas en la figura adjunta. Satisfacen el siguiente conjunto de relaciones:
donde es la acción trivial (identidad). Las primeras nueve de estas relaciones transforman el octágono mostrado en sí mismo, mientras que la última lo transforma en un octágono vecino que comparte una arista. Este conjunto de relaciones en GAP permite obtener información sobre la teoría de representaciones del grupo (que GAP identifica como SmallGroup (96,193)). En particular, existen cuatro representaciones irreducibles unidimensionales, dos bidimensionales, cuatro tridimensionales y tres tetradimensionales, y
como se esperaba.
Otra presentación del grupo de simetría completo comienza con el grupo triangular . Si se denota con s, l y h el cambio de sentido respecto del cateto menor, el cateto mayor o la hipotenusa del triángulo, el grupo de simetría completo es:
donde esta última relación, la que no se cumple en el grupo triangular completo, recorre una geodésica cuya longitud es la sístole .
Teoría espectral
Aquí, la teoría espectral se refiere al espectro del laplaciano, . El primer autoespacio (es decir, el autoespacio correspondiente al primer autovalor positivo) de la superficie de Bolza es tridimensional, y el segundo, tetradimensional, según y . Se cree que investigar las perturbaciones de las líneas nodales de las funciones en el primer autoespacio en el espacio de Teichmüller dará como resultado la conjetura planteada en la introducción. Esta conjetura se basa en extensos cálculos numéricos de los autovalores de la superficie y otras superficies de género 2. En particular, el espectro de la superficie de Bolza se conoce con gran precisión (). La siguiente tabla muestra los diez primeros autovalores positivos de la superficie de Bolza.
+ Cálculos numéricos de los diez primeros autovalores positivos de la superficie de Bolza Autovalor Valor numérico Multiplicidad013.838887258842199518586622450435464597081915015735.35360134118905041091804831103144637635737219848.249554815200658121890106450682456568390578132214.72621678778883204128931844218483598373384446932415.04891613326704874618158434025881127570452711372318.65881962726019380629623466134099363131475471461320.5198597341420020011497712606420998241440266544635423.0785584813816351550752062995745529967807846993874128.079605737677729081562207945001124964945310994142330.8330427379325496742439575604701893295626550763864
El determinante espectral y la energía de Casimir de la superficie de Bolza son
y
respectivamente, donde se asume que todos los decimales son correctos. Se conjetura que el determinante espectral se maximiza en género 2 para la superficie de Bolza.
Jacobiano
La variedad jacobiana de la curva de Bolza es el producto de dos copias de la curva elíptica ().
Álgebra de cuaterniones
El álgebra de cuaterniones que describe el grupo triangular puede considerarse como el álgebra sobre generada como un álgebra asociativa por los generadores i,j y las relaciones
con una elección apropiada de un orden.
Véase también Curva hiperelíptica Cuártica de Klein Curva de Bring (en inglés) Superficie de Macbeath (en inglés) Primer triplete de Hurwitz (en inglés)
Referencias
Bibliografía
Categoría:Superficie de Riemann Categoría:Geometría sistólica Categoría:Variedades hiperbólicas