En matemáticas, una curva superelíptica es una curva algebraica definida por una ecuación de la forma:
donde es un entero y f es un polinomio de grado con coeficientes en un cuerpo ; más precisamente, es una variedad proyectiva suave cuyo cuerpo de funciones está definido por esta ecuación.
El caso y es una curva elíptica, el caso y es una curva hiperelíptica, y el caso y es un ejemplo de una curva trigonal.
Algunos autores imponen restricciones adicionales, por ejemplo, que el entero no sea divisible por la característica de , que el polinomio sea entero libre de cuadrados, que los enteros m y d sean números coprimos, o alguna combinación de estas condiciones.
Definición En términos más generales, una curva superelíptica es un recubrimiento ramificado cíclico
de la recta proyectiva de grado coprimo con la característica del cuerpo de definición. El grado de la aplicación de recubrimiento también se denomina grado de la curva. Por recubrimiento cíclico se entiende que el grupo de Galois del recubrimiento (es decir, la extensión al cuerpo de funciones correspondiente) es cíclico.
El teorema fundamental de la teoría de Kummer implica que una curva superelíptica de grado definida sobre un cuerpo tiene un modelo afín dado por la ecuación
para algún polinomio de grado con cada raíz de orden , siempre que tenga un punto definido sobre , es decir, si el conjunto de puntos racionales de no está vacío. Por ejemplo, esto siempre se cumple cuando es algebraicamente cerrado. En particular, la extensión del cuerpo de funciones es una extensión de Kummer.
Ramificación Sea una curva superelíptica definida sobre un cuerpo algebraicamente cerrado , y el conjunto de raíces de en . Entonces, se define el conjunto:
En consecuencia, es el conjunto de puntos de ramificación de la aplicación de recubrimiento dada por .
Para un punto de ramificación afín , sea el orden de como raíz de . Como antes, se asume que . Entonces,
es el índice de ramificación en cada uno de los puntos de ramificación de la curva que se extiende sobre (esto es cierto para cualquier ).
Para el punto en el infinito, se define el entero de la siguiente manera: Si
entonces . Nótese que . Así mismo, de forma análoga a los demás puntos de ramificación,
es el índice de ramificación en los puntos que se extienden sobre . En particular, la curva no está ramificada sobre el infinito si y solo si su grado divide a .
La curva , definida como se indicó anteriormente, está conectada precisamente cuando y son coprimos (no necesariamente pares), lo cual se supone que es el caso.
Género
Según la formula de Riemann-Hurwitz, el género de una curva superelíptica viene dado por:
Problema diofántico El problema diofántico de encontrar puntos enteros en una curva superelíptica se puede resolver mediante un método similar al utilizado para la resolución de ecuaciones hiperelípticas: se utiliza la identidad de Siegel para reducirlo a la ecuación de Thue.Shorey and Tijdeman (1986), Theorem 6.1
Se conocen resultados más concretos. Para un polinomio dado f con coeficientes racionales y al menos dos raíces distintas, la ecuación anterior tiene un número finito de soluciones enteras m, x, y tales que y m, x, y están acotadas por una constante efectivamente computable que depende únicamente de f. Además, la condición puede reemplazarse por en el caso de que f tenga al menos tres raíces distintas.Shorey and Tijdeman (1986), Theorem 10.2
De forma más general, sea una forma binaria tal que tiene al menos dos raíces distintas y todas ellas pertenecen a una extensión finita de , O el anillo de enteros de , y S el conjunto de enteros compuestos únicamente por elementos distintos de la unidad de un conjunto fijo en O. Además, tómese un valor ideal de I de . Entonces, la ecuación
con y implica que las alturas de w, x, y, z y m están acotadas por una constante efectivamente computable que depende únicamente de f, e I. Asimismo, la condición puede reemplazarse por si tiene al menos tres raíces distintas.Shorey and Tijdeman (1986), Theorems 10.6 and 10.7, véase también
Véase también Curva hiperelíptica Recubrimiento ramificado (en inglés) Curva de Artin-Schreier (en inglés) Teoría de Kummer Superelipse
Referencias
Bibliografía
Categoría:Curvas algebraicas