En matemáticas, un sistema raíz o sistema de raíces es una configuración de vectores en un espacio euclídeo que satisface ciertas propiedades geométricas. El concepto es fundamental en la teoría de grupos de Lie y en el álgebra de Lie, especialmente en la teoría de clasificación y representación del álgebra de Lie semisimple. Dado que los grupos de Lie (y algunos análogos como los grupos algebraicos) y las álgebras de Lie se han vuelto importantes en muchas áreas de las matemáticas durante el siglo XX, la naturaleza aparentemente especial de los sistemas de raíces oculta la cantidad de áreas en las que se aplican. Además, el esquema de clasificación de sistemas de raíces, mediante diagramas de Dynkin, aparece en áreas de las matemáticas sin conexión explícita con la teoría de Lie (como la teoría de la singularidad). Finalmente, los sistemas de raíces son importantes por sí mismos, como en la teoría espectral de grafos.
Definiciones y ejemplos
Como primer ejemplo, considérense los seis vectores en el espacio euclídeo bidimensional, R2, como se muestra en la imagen de la derecha, que se van a denominar raíces. Este sistema generador de vectores abarca todo el espacio. Si se considera la línea recta perpendicular que conecta con cualquier raíz, póngase por caso β, entonces la reflexión de R2 respecto a esa recta conecta con cualquier otra raíz, póngase por caso α, con otra raíz. Además, la raíz a la que se conecta es igual a α + nβ, donde n es un número entero (en este caso, n es igual a 1). Estos seis vectores satisfacen la siguiente definición y, por lo tanto, forman un sistema de raíces, que se denomina A2.
Definición Sea E un espacio vectorial euclídeo de dimensión finita, con el producto interno euclídeo estándar (producto escalar) denotado por . Un sistema de raíces en E es un conjunto finito de vectores no nulos (llamados raíces) que satisfacen las siguientes condiciones:Bourbaki, Ch.VI, Section 1
Las raíces abarcan E. Los únicos múltiplos escalares de una raíz que pertenecen a son mismo y . Para cada raíz , el conjunto es cerrado bajo reflexión a través del hiperplano perpendicular a . (Integralidad) Si y son raíces en , entonces la proyección de sobre la recta que pasa por es un múltiplo entero o semi-entero de .
Las formas equivalentes de escribir las condiciones 3 y 4, respectivamente, son las siguientes:
Para cualesquiera dos raíces , el conjunto contiene el elemento . Para cualesquiera dos raíces , el número es un número entero.
Algunos autores solo incluyen las condiciones 1 a 3 en la definición de un sistema de raíces. En este contexto, un sistema raíz que también satisface la condición de integralidad se conoce como sistema de raíces cristalográfico. Otros autores omiten la condición 2; entonces denominan reducidos a los sistemas de raíces que satisfacen la condición 2. En este artículo, se supone que todos los sistemas de raíces son reducidos y cristalográficos.
En vista de la propiedad 3, la condición de integralidad es equivalente a afirmar que β y su reflexión σα(β) difieren en un múltiplo entero de α. Nótese que el operador
definido por la propiedad 4 no es un producto interno. No es necesariamente simétrico y es lineal solo en el primer argumento.
+Sistemas de raíces de rango 2Sistema raíz Sistema raíz Sistema raíz Sistema raíz Sistema raíz Sistema raíz
El rango de un sistema de raíces Φ es la dimensión de E. Dos sistemas de raíces pueden combinarse considerando los espacios euclídeos que generan como subespacios mutuamente ortogonales de un espacio euclídeo común. Un sistema de raíces que no surge de dicha combinación, como los sistemas A2, B2 y G2 que se muestran a la derecha, se denomina irreducible.
Dos sistemas de raíces (E1, Φ1) y (E2, Φ2) se denominan isomorfos si existe una transformación lineal invertible E1 → E2 que transforma Φ1 en Φ2 de tal manera que, para cada par de raíces, se conserva el número .
El retículo raíz de un sistema de raíces Φ es el Z-submódulo de E generado por Φ. Es un retículo en E.
Grupo de Weyl
El grupo de isometrías de E generado por reflexiones a través de hiperplanos asociados a las raíces de Φ se denomina grupo de Weyl de Φ. Como acción definida en el conjunto finito F, el grupo de Weyl es siempre finito. Los planos de reflexión son los hiperplanos perpendiculares a las raíces, indicados para mediante líneas discontinuas en la figura siguiente. El grupo de Weyl es el grupo de simetría de un triángulo equilátero, que tiene seis elementos. En este caso, el grupo de Weyl no es el grupo de simetría completo del sistema de raíces (por ejemplo, una rotación de 60 grados es una simetría del sistema de raíces, pero no un elemento del grupo de Weyl).
Ejemplo de rango uno Existe un único sistema de raíces de rango 1, compuesto por dos vectores no nulos . Este sistema de raíces se denomina .
Ejemplos de rango dos En el rango 2 existen cuatro posibilidades, correspondientes a , y. Proposition 8.8 La figura de la derecha muestra estas posibilidades, aunque con algunas redundancias: es isomorfo a y es isomorfo a .
Cabe destacar que un sistema de raíces no está determinado por la red que genera: y generan ambos un retículo cuadrado, mientras que y generan ambos un retículo hexagonal.
Siempre que Φ sea un sistema de raíces en E, y S sea un subespacio de E generado por Ψ = Φ ∩ S, entonces Ψ es un sistema de raíces en S. Por lo tanto, la lista exhaustiva de cuatro sistemas de raíces de rango 2 muestra las posibilidades geométricas para cualquier par de raíces elegidas de un sistema de raíces de rango arbitrario. En particular, dos de dichas raíces deben encontrarse en un ángulo de 0, 30, 45, 60, 90, 120, 135, 150 o 180 grados.
Sistemas de raíces derivados de álgebras de Lie semisimples Si es un álgebra de Lie semisimple compleja y es un subálgebra de Cartan, se puede construir un sistema de raíces de la siguiente manera. Se dice que es una raíz de con respecto a si y existe algún tal que
para todo . Se puede demostrar que existe un producto interno para el cual el conjunto de raíces forma un sistema raíz. El sistema de raíces de es una herramienta fundamental para analizar la estructura de y clasificar sus representaciones (véase la sección siguiente sobre Sistemas de raíces y Teoría de Lie).
Historia El concepto de sistema de raíces fue introducido originalmente por Wilhelm Killing alrededor de 1889 (en alemán, Wurzelsystem). Los utilizó en su intento de clasificar todas las álgebras de Lie simples sobre el cuerpo de los números complejos. (Killing cometió un error en la clasificación original, al enumerar dos sistemas de raíces excepcionales de rango 4, cuando en realidad solo existe uno, conocido actualmente como Φ4. Cartan corrigió posteriormente este error, demostrando que los dos sistemas de raíces de Killing eran isomorfos).
Investigó la estructura de un álgebra de Lie considerando lo que ahora se denomina subálgebra de Cartan . Luego estudió las raíces del polinomio característico , donde . Aquí, una raíz se considera como una función de , o incluso como un elemento del espacio vectorial dual . Este conjunto de raíces forma un sistema raíz dentro de , como se definió anteriormente, donde el producto interno es la forma de Killing.
Consecuencias elementales de los axiomas del sistema raíz
El coseno del ángulo entre dos raíces está restringido a ser la mitad de la raíz cuadrada de un entero positivo. Esto se debe a que y son enteros, por hipótesis, y
Dado que , los únicos valores posibles para son y , que corresponden a ángulos de 90°, 60° o 120°, 45° o 135°, 30° o 150°, y 0° o 180°. La condición 2 establece que ningún múltiplo escalar de α distinto de 1 y -1 puede ser raíz, por lo que 0° o 180°, que corresponderían a 2α o -2α, quedan descartados. El diagrama de la derecha muestra que un ángulo de 60° o 120° corresponde a raíces de igual longitud, mientras que un ángulo de 45° o 135° corresponde a una razón de longitud y un ángulo de 30° o 150° corresponde a una razón de longitud .
En resumen, estas son las únicas posibilidades para cada par de raíces: Proposition 8.6
Ángulo de 90°, en este caso, la razón de longitud no tiene restricciones. Ángulo de 60° o 120°, con una razón de longitud de 1. Ángulo de 45° o 135°, con una razón de longitud . Ángulo de 30 o 150 grados, con una relación de longitud .
Raíces positivas y raíces simples
Dado un sistema de raíces , siempre se puede elegir (de muchas maneras) un conjunto de raíces positivas. Este es un subconjunto de tal que:
Para cada raíz , exactamente una de las raíces , , está contenida en . Para cualesquiera dos distintos tales que sea una raíz, .
Si se elige un conjunto de raíces positivas , los elementos de se denominan raíces negativas. Se puede construir un conjunto de raíces positivas eligiendo un hiperplano que no contenga ninguna raíz y definiendo como todas las raíces que se encuentran en un lado fijo de . Además, todo conjunto de raíces positivas surge de esta manera.
Un elemento de se llama raíz simple (también raíz fundamental) si no se puede escribir como la suma de dos elementos de (el conjunto de raíces simples también se denomina base para ). El conjunto de raíces simples es una base de con las siguientes propiedades especiales adicionales:
Cada raíz es un combinación lineal de elementos de con coeficientes enteros. Para cada , los coeficientes del punto anterior son todos no negativos o todos no positivos.
Para cada sistema de raíces existen muchas opciones diferentes para el conjunto de raíces positivas —o, equivalentemente, para el conjunto de raíces simples—, pero dos conjuntos cualesquiera de raíces positivas difieren por la acción del grupo de Weyl.
Sistema de raíces dual, corraíces y elementos enteros
Sistema de raíces dual Si Φ es un sistema de raíces en E, la corraíz α∨ de una raíz α se define mediante:
El conjunto de corraíces también forma un sistema de raíces Φ∨ en E, llamado sistema de raíces dual (o a veces sistema de raíces inverso). Mediante cálculo directo, α∨∨ = α, de modo que Φ es el sistema de raíces dual de Φ∨. La red en E generada por Φ∨ se denomina red de corraíces. Tanto Φ como Φ∨ tienen el mismo grupo de Weyl W y, para s en W,
Si Δ es un conjunto de raíces simples para Φ, entonces Δ∨ es un conjunto de raíces simples para Φ∨.
En la clasificación que se describe a continuación, los sistemas de raíces de tipo y , junto con los sistemas de raíces excepcionales , son todos autoduales, lo que significa que el sistema de raíces dual es isomorfo al sistema de raíces original. Por el contrario, los sistemas de raíces y son duales entre sí, pero no isomorfos (excepto cuando ).
Elementos enteros
Un vector en E se denomina integral si su producto interno con cada raíz común es un entero:
Dado que el conjunto de con forma una base para el sistema de raíces dual, para verificar que es entero, basta con comprobar la condición anterior para .
El conjunto de elementos enteros se denomina retículo de pesos asociado al sistema de raíces dado. Este término proviene de la teoría de la representación de álgebras de Lie semisimples, donde los elementos enteros forman los posibles pesos de representaciones de dimensión finita.
La definición de un sistema de raíces garantiza que las raíces mismas son elementos enteros. Por lo tanto, toda combinación lineal entera de raíces también es entera. Sin embargo, en la mayoría de los casos, habrá elementos enteros que no son combinaciones enteras de raíces. Es decir, en general, el retículo de pesos no coincide con el retículo de raíces.
Clasificación de sistemas de raíces mediante diagramas de Dynkin
Un sistema de raíces es irreducible si no puede particionarse en la unión de dos subconjuntos propios , tales que para todo y .