En lógica matemática, un término es una disposición de símbolos dependientes/vinculados que denota un objeto matemático dentro de una expresión/fórmula. En particular, los términos aparecen como componentes de una fórmula. Esto es análogo al lenguaje natural, donde un sintagma nominal se refiere a un objeto y una oración completa se refiere a un hecho.

Un término de primer orden es construido recursivamente formado utilizando símbolos de constantes, símbolos de variables y símbolos de función.

Una expresión formada al aplicar un símbolo de predicado a un número apropiado de términos se denomina fórmula atómica, que se evalúa como verdadera o falsa en lógica bivalente, dando una interpretación.

Por ejemplo, es un término construido a partir de la constante 1, la variable y los símbolos de función binaria y . Forma parte de la fórmula atómica , que se evalúa como verdadera para cada valor valor real de .

Además de en lógica, los términos desempeñan un papel importante en álgebra universal y en reescritura.

Definición

Dado un conjunto V de símbolos de variables, un conjunto C de símbolos de constantes y conjuntos Fn de símbolos de funciones n-arias, también llamados símbolos de operadores, para cada número natural n = 1, el conjunto de términos T (de primer orden no ordenados) es definido recursivamente como el conjunto más pequeño con las siguientes propiedades:; here: Sect.1.3

Cada símbolo de variable es un término: Cada símbolo de constante es un término: A partir de cada n términos t1,...,tn, y cada símbolo de función n-aria , se puede construir un término mayor f(t1, ..., tn).

Usando una notación intuitiva, pseudo-gramatical, esto a veces se escribe como:

t ::= x | c | f(t1, ..., tn).

La simbología del lenguaje de términos describe qué conjuntos de símbolos de función Fn están ocupados. Ejemplos conocidos son los símbolos de función unarios y los símbolos de función binarios . Las operaciones ternarias y las funciones de aridad superior son posibles, pero poco comunes en la práctica. Muchos autores consideran los símbolos constantes como símbolos de función 0-arios F0, por lo que no requieren una clase sintáctica especial para ellos.

Un término denota un objeto matemático del dominio de discurso. Una constante c denota un objeto con nombre de ese dominio, una variable x recorre los objetos de ese dominio, y una función n-aria f mapea n-tuplas de objetos a objetos. Por ejemplo, si es un símbolo de variable, es un símbolo de constante y es un símbolo de función binaria, entonces y (por lo tanto) se definen según la primera, segunda y tercera regla de construcción de términos, respectivamente. El último término se suele escribir como n+1, utilizando la notación de infijo y el operador más común + para mayor comodidad.

Estructura de términos frente a representación Originalmente, los lógicos definían un término como una cadena de caracteres que seguía ciertas reglas de construcción.; here: Sect.II.1.3 Sin embargo, desde que el concepto de árbol se popularizó en informática, resultó más conveniente concebir un término como un árbol. Por ejemplo, varias cadenas de caracteres distintas, como "", "" y "", representan el mismo término y corresponden al mismo árbol, es decir, el árbol de la izquierda en la imagen superior.

Al separar la estructura arbórea de un término de su representación gráfica en papel, también es fácil tener en cuenta los paréntesis (que son solo representación, no estructura) y los operadores de multiplicación invisibles (que existen solo en la estructura, no en la representación).

Igualdad estructural Se dice que dos términos son estructuralmente, literalmente o sintácticamente iguales si corresponden al mismo árbol. Por ejemplo, los árboles de la izquierda y la derecha en la imagen superior son términos estructuralmente desiguales, aunque podrían considerarse semánticamente iguales ya que siempre se evalúan al mismo valor en aritmética racional. Si bien la igualdad estructural se puede comprobar sin conocer el significado de los símbolos, la igualdad semántica no. Si la función / se interpreta, por ejemplo, no como la división racional sino como la división truncada a la parte entera, entonces en n=2 los términos de la izquierda y la derecha se evalúan a 3 y 2, respectivamente.

Estructuralmente, los términos iguales deben coincidir en los nombres de sus variables.

En cambio, un término t se denomina renombrado o variante de un término u si este último resulta del renombrado simultáneo de todas las variables del primero, es decir, si u = tσ para algún σ de acuerdo con alguna sustitución de nombres. En ese caso, u también es un renombrado de t, ya que una sustitución de renombrado σ tiene un inverso σ−1, y t = uσ−1. Ambos términos se consideran entonces iguales módulo renombrado. En muchos contextos, los nombres de las variables en un término no importan. Por ejemplo, el axioma de conmutatividad para la suma puede enunciarse como x + y = y + x o como a + b = b + a. En tales casos, la fórmula completa puede renombrarse, mientras que un subtérmino arbitrario generalmente no. Por ejemplo, x+y=b+a no es una versión válida del axioma de conmutatividad.Dado que las fórmulas atómicas también pueden considerarse árboles, y el cambio de nombre es esencialmente un concepto basado en árboles, las fórmulas atómicas (y, en general, las fórmulas sin cuantificador) pueden renombrarse de forma similar a los términos. De hecho, algunos autores consideran una fórmula sin cuantificador como un término (de tipo booleano, en lugar de, por ejemplo, entero).El cambio de nombres en el axioma de conmutatividad puede interpretarse como una conversión alfa sobre el cierre universal del axioma: "x+y=y+x" significa en realidad "∀x,y: x+y=y+x", que es sinónimo de ; véase más adelante.

Términos básicos y lineales El conjunto de variables de un término t se denota por vars(t).

Un término que no contiene variables se denomina término básico; un término que no contiene múltiples ocurrencias de una variable se denomina término lineal.

Por ejemplo, 2+2 es un término básico y, por lo tanto, también un término lineal; x·(n+1) es un término lineal; n·(n+1) es un término no lineal. Estas propiedades son importantes, por ejemplo, en reescritura.

Dado una simbología para los símbolos de función, el conjunto de todos los términos forma el álgebra de términos libre. El conjunto de todos los términos básicos forma el álgebra de términos inicial.

Si se abrevia el número de constantes como f0 y el número de símbolos de función i-aria como fi, el número θh de términos fundamentales distintos de altura hasta h se puede calcular mediante la siguiente fórmula de recursión: θ0 = f0, ya que un término básico de altura 0 solo puede ser una constante, , ya que un término fundamental de altura hasta h+1 se puede obtener componiendo cualesquiera i términos fundamentales de altura hasta h, utilizando un símbolo de función raíz i-aria. La suma tiene un valor finito si solo hay un número finito de constantes y símbolos de función, lo cual suele ser el caso.

Construcción de fórmulas a partir de términos Dado un conjunto Rn de símbolos de relación n-aria para cada número natural n = 1, se obtiene una fórmula atómica (de primer orden no ordenada) aplicando un símbolo de relación n-aria a n términos. En cuanto a los símbolos de función, un conjunto de símbolos de relación Rn suele ser no vacío solo para valores pequeños de n. En lógica matemática, se construyen fórmulas más complejas a partir de fórmulas atómicas utilizando conectiva lógica y cuantificadores. Por ejemplo, si denota el conjunto de los números reales, es una fórmula matemática que se evalúa como verdadera en el álgebra de números complejos.

Una fórmula atómica se denomina básica si se construye completamente a partir de términos básicos. Todas las fórmulas atómicas básicas que se pueden componer a partir de un conjunto dado de símbolos de función y predicado conforman la base de Herbrand para estos conjuntos de símbolos.

Operaciones con términos

Dado que un término tiene la estructura de una jerarquía de árbol, a cada uno de sus nodos se le puede asignar una posición o ruta, es decir, una cadena de números naturales que indica la posición del nodo en la jerarquía. La cadena vacía, comúnmente denotada por ε, se asigna al nodo raíz. Las cadenas de posición dentro del término negro se indican en rojo en la imagen.

En cada posición p de un término t, comienza un único subtérmino, comúnmente denotado por . Por ejemplo, en la posición 122 del término negro en la imagen, el subtérmino a+2 tiene su raíz. La relación es un subtérmino de es un conjunto parcialmente ordenado en el conjunto de términos. Se trata de una relación reflexiva, puesto que cada término es trivialmente un subtérmino de sí mismo.

El término obtenido al reemplazar en un término t el subtérmino en la posición p por un nuevo término u se denota comúnmente por . El término también puede considerarse como el resultado de una concatenación generalizada del término u con un objeto similar a un término . Este último se denomina contexto o término con un hueco (indicado por .; su posición es p), en el que se dice que u está incrustado. Por ejemplo, si t es el término negro en la imagen, entonces da como resultado el término . Este último término también resulta de incrustar el término en el contexto de . En un sentido informal, las operaciones de instanciación y de incrustación son inversas entre sí: mientras que la primera agrega símbolos de función en la parte inferior del término, la segunda los agrega en la parte superior. La operación de ordenamiento de abarcación relaciona un término con cualquier resultado de agregaciones en ambos lados.

A cada nodo de un término se le puede asignar su profundidad (denominada altura por algunos autores), es decir, su distancia (número de aristas) desde la raíz. En este contexto, la profundidad de un nodo siempre es igual a la longitud de su cadena de posición. En la imagen, los niveles de profundidad del término negro se indican en verde.

El tamaño de un término se refiere comúnmente al número de sus nodos o, equivalentemente, a la longitud de su representación escrita, contando los símbolos sin paréntesis. Los términos negro y azul de la imagen tienen un tamaño de 15 y 5, respectivamente.

Un término u coincide con un término t si una instancia de sustitución de u es estructuralmente igual a un subtérmino de t, o formalmente, si para alguna posición p en t y alguna sustitución σ . En este caso, u, t y σ se denominan, respectivamente, término patrón, término sujeto y sustitución correspondiente. En la imagen, el término patrón azul coincide con el término sujeto negro en la posición 1, y la sustitución correspondiente se indica mediante variables azules situadas inmediatamente a la izquierda de sus sustitutos negros. Intuitivamente, el patrón, salvo sus variables, debe estar contenido en el sujeto. Si una variable aparece varias veces en el patrón, se requieren subtérminos iguales en las posiciones correspondientes del sujeto.

Conceptos relacionados Términos ordenados

Cuando el dominio del discurso contiene elementos de tipos fundamentalmente diferentes, resulta útil dividir el conjunto de todos los términos en consecuencia. Para ello, se asigna un tipo (a veces también llamado categoría) a cada variable y a cada símbolo constante, y una declaraciónEs decir, tipo de símbolo en el artículo sobre simbologías de varios tipos. de tipos de dominio y de rango a cada símbolo de función. Un término variado f(t1,...,tn) puede estar compuesto por subtérminos variados t1,...,tn solo si el tipo del subtérmino coincide con el tipo de dominio declarado de f. Dicho término se denomina "bien clasificado"; cualquier otro término (es decir, que no cumpla con reglas de clasificación) se denomina mal clasificado.