En teoría de conjuntos, la paradoja de Cantor afirma que no existe un conjunto de cardinalidades. Esto es consecuencia del teorema que muestra que no existe un número cardinal máximo. En términos informales, la paradoja afirma que la colección de todos los tamaños de infinitos es tan infinitamente grande que su tamaño no puede ser ninguno de los tamaños de infinito en la colección. Esta dificultad se trata en la teoría axiomática de conjuntos, declarando que esta colección no es solo un conjunto sino que una clase propia. En la teoría de conjuntos de von Neumann-Bernays-Godel, se utiliza el axioma de limitación de tamaño para demostrar que esta clase propia es una biyección con la clase de todos los conjuntos. Entonces, no solo hay infinitos infinitos, pero este infinito es mayor a cualquier de las infinidades que enumera.

Esta paradoja recibe su nombre de Georg Cantor, quien la habría identificado por primera vez en 1899 (o entre 1895 y 1897). Al igual que otras "paradojas", no es contradictoria, sino que simplemente evidencia una intuición errónea, en este caso sobre la naturaleza del infinito y la noción de conjunto. Dicho de otro modo, resulta paradójica dentro del marco de la teoría informal de conjuntos y demuestra que una axiomatización superficial de esta teoría es inconsistente.

Enunciados y demostraciones

Para enunciar la paradoja es necesario comprender que los números cardinales están totalmente ordenados, de modo que se puede hablar de que uno es mayor o menor que otro. Entonces, la paradoja de Cantor es:

Teorema: No existe un número cardinal máximo.

Esto es una consecuencia del teorema de Cantor sobre la cardinalidad del conjunto potencia de un conjunto.

Demostración: Asumamos lo contrario y definamos a C como el número cardinal máximo. Luego (en la formulación de cardinalidad de von Neumann), C es un conjunto y por ende tiene un conjunto potencia 2C que, por el teorema de Cantor, tiene cardinalidad estrictamente mayor a C, lo cual contradice la definición de C.

Otra consecuencia del teorema de Cantor es que los números cardinales forman una clase propia. Es decir, no pueden agruparse como elementos de un solo conjunto:

Teorema: Si S es cualquier conjunto, entonces S no contiene elementos de todas las cardinalidades. De hecho, existe un límite superior estricto sobre la cardinalidad de los elementos de S.

Demostración: Si S es un conjunto y T la unión de los elementos de S, entonces cada elemento de S es un subconjunto de T. Luego la cardinalidad de cada elemento de S es menor o igual a la de T, lo que implica, por el teorema de Cantor, que es estrictamente menor a la del conjunto potencia 2T.== Discusión y consecuencias == Dado que los números cardinales están bien ordenados por indexación con los números ordinales (véase Número cardinal, definición formal), esto establece que no existe un ordinal máximo; esta última afirmación implica la paradoja de Cantor. Al aplicar esta indexación a la paradoja de Burali-Forti, obtenemos otra demostración de que los números cardinales son una clase propia en lugar de un conjunto y se deduce de esto que existe una biyección entre la clase de los cardinales y la clase de todos los conjuntos.

Notas históricas Si bien se le atribuye a Cantor el haber identificado por primera vez esta propiedad de los conjuntos cardinales, algunos matemáticos otorgan esta distinción a Bertrand Russell, quien definió un teorema similar en 1899 o 1901.

Referencias

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