En teoría de números aditiva, la densidad de Schnirelmann de una sucesión de números es una forma de caracterizar la distribución de sus elementos. Recibe su nombre del matemático soviético Lev Schnirelmann, quien fue el primero en estudiarla.Schnirelmann, L.G. (1930). "On the additive properties of numbers", first published in "Proceedings of the Don Polytechnic Institute in Novocherkassk" (in Russian), vol XIV (1930), pp. 3-27, and reprinted in "Uspekhi Matematicheskikh Nauk" (in Russian), 1939, no. 6, 9–25.Schnirelmann, L.G. (1933). First published as "Über additive Eigenschaften von Zahlen" in "Mathematische Annalen" (in German), vol 107 (1933), 649-690, and reprinted as "On the additive properties of numbers" in "Uspekhin. Matematicheskikh Nauk" (in Russian), 1940, no. 7, 7–46.
Definición La densidad de Schnirelmann de un conjunto de números naturales A se define como:
donde A(n) denota el número de elementos de A que no excede n e inf es el ínfimo del conjunto.Nathanson (1996) pp.191–192
La densidad de Schnirelmann está bien definida incluso si el límite de A(n)/n cuando no existe (véase densidad asintótica superior e inferior).
Propiedades Por definición, y para todo n, y por lo tanto , y si y solo si . Además,
Sensibilidad La densidad de Schnirelmann es sensible a los primeros valores de un conjunto:
En particular,
y
Por consiguiente, las densidades de Schnirelmann de los números pares e impares, que cabría esperar que coincidieran, son 0 y 1/2 respectivamente. Schnirelmann y Yuri Linnik aprovecharon esta sensibilidad.
Teoremas de Schnirelmann Si se define , entonces el teorema de los cuatro cuadrados puede reescribirse como . Aquí, el símbolo denota el conjunto suma de y . Es evidente que . De hecho, se sigue teniendo , y cabe preguntarse en qué punto el conjunto suma alcanza la densidad de Schnirelmann 1 y cómo aumenta. En realidad, se cumple que , y se observa que al sumar se obtiene un conjunto más numeroso, concretamente, todo . Schnirelmann desarrolló estas ideas en los siguientes teoremas, orientados a la teoría aditiva de números, demostrando que constituyen un recurso novedoso (aunque no sumamente potente) para abordar problemas importantes, como el problema de Waring y la conjetura de Goldbach.
Teorema. Sean y subconjuntos de . Entonces
Nótese que . De forma inductiva, se obtiene la siguiente generalización.
Corolario. Sea una familia finita de subconjuntos de . Entonces
El teorema ofrece las primeras pistas sobre cómo se acumulan los conjuntos suma. Resulta lamentable que su conclusión no llegue a demostrar que sea superaditivo. Sin embargo, Schnirelmann proporcionó los siguientes resultados, que fueron suficientes para la mayor parte de su propósito.
Teorema. Sean y subconjuntos de . Si , entonces
Teorema. (Schnirelmann) Sea . Si entonces existe un tal que
Bases aditivas Un subconjunto con la propiedad de que para una suma finita se denomina base aditiva, y el número mínimo de sumandos requerido se llama grado (a veces orden) de la base. Por lo tanto, el último teorema establece que cualquier conjunto con densidad de Schnirelmann positiva es una base aditiva. En esta terminología, el conjunto de cuadrados es una base aditiva de grado 4 (sobre un problema abierto para bases aditivas, véase conjetura de Erdős-Turán sobre bases aditivas).
Teorema de Mann Históricamente, los teoremas anteriores apuntaban al siguiente resultado, conocido en su momento como la hipótesis . Fue utilizado por Edmund Landau y finalmente demostrado por Henry Mann en 1942.
Teorema. Sean y subconjuntos de . En caso de que , se tiene que
Kneser obtuvo un análogo de este teorema para densidad asintótica inferior.Nathanson (1990) p.397 Posteriormente, E. Artin y P. Scherk simplificaron la demostración del teorema de Mann.E. Artin and P. Scherk (1943) On the sums of two sets of integers, Ann. of Math 44, page=138-142.
Problema de Waring
Sean y números naturales. Sea . Se define como el número de soluciones enteras no negativas de la ecuación:
y como el número de soluciones enteras no negativas de la desigualdad:
en las variables , respectivamente. Por lo tanto, . Se tiene que:
El volumen del cuerpo -dimensional definido por está acotado por el volumen del hipercubo de tamaño , es decir, . La parte difícil es demostrar que esta cota sigue siendo válida en promedio, es decir,
Lema. (Linnik) Para todo existen y una constante , dependiente solo de , tal que para todo ,
para todo
Con esto en mente, el siguiente teorema puede demostrarse de manera elegante.
Teorema. Para todo existe para el que .
Se ha establecido así la solución general al problema de Waring:
Corolario. Para todo existe , dependiente solo de , de tal manera que cada entero positivo puede expresarse como la suma de como máximo potencias de .
Constante de Schnirelmann En 1930, Schnirelmann utilizó estas ideas junto con la criba de Brun para demostrar el teorema de Schnirelmann, que establece que cualquier número natural mayor que 1 puede escribirse como la suma de no más de C números primos, donde C es una constante efectivamente computable:.Nathanson (1996) p.208 Schnirelmann obtuvo C < 800000.Gelfond & Linnik (1966) p.136 la constante de Schnirelmann es el número C más pequeño con esta propiedad.
Olivier Ramaré demostró en que la constante de Schnirelmann es como máximo 7, mejorando la cota superior anterior de 19 obtenida por Hans Riesel y R. C. Vaughan.
La constante de Schnirelmann es al menos 3. La conjetura de Goldbach implica que este es el valor real de la constante.
En 2013, Harald Helfgott demostró la conjetura débil de Goldbach para todos los números impares. Por lo tanto, estableció que la constante de Schnirelmann es como máximo 4.
Componentes esenciales Aleksandr Jinchin demostró que la secuencia de cuadrados, aunque de densidad de Schnirelmann cero, al añadirse a una secuencia de densidad de Schnirelmann entre 0 y 1, aumenta la densidad:
Esto fue pronto simplificado y extendido por Erdős, quien demostró que si A es cualquier secuencia con densidad de Schnirelmann α y B es una base aditiva de orden k, entonces:
Ruzsa (2009) p.177
Y esto fue mejorado por Plünnecke a:
Ruzsa (2009) p.179
Las secuencias con esta propiedad, de densidad creciente menos de uno por adición, fueron denominadas "componentes esenciales" por Jinchin. Linnik demostró que un componente esencial no tiene por qué ser una base aditiva, ya que construyó un componente esencial que tiene xo(1) elementos menores que x. Más precisamente, la secuencia tiene
elementos menores que x para algún c< 1. Esto fue mejorado por E. Wirsing a
Durante un tiempo, permaneció como un problema abierto cuántos elementos debe tener un componente esencial. Finalmente, Ruzsa determinó que para cada ε> 0 existe un componente esencial que tiene como máximo c(log x)1+ε elementos hasta x, pero no existe ningún componente esencial que tenga c(log x)1+o(1) elementos hasta x. Imre Z. Ruzsa, Essential Components, Proceedings of the London Mathematical Society, Volume s3-54, Issue 1, January 1987, Pages 38–56, https://doi.org/10.1112/plms/s3-54.1.38 01 January 1987Ruzsa (2009) p.184
Referencias
Bibliografía
Has a proof of Mann's theorem and the Schnirelmann-density proof of Waring's conjecture.
Categoría:Teoría aditiva de números Categoría:Constantes matemáticas