En matemáticas, una sucesión (s1, s2, s3, ...) de números reales se denomina equidistribuida o uniformemente distribuida si la proporción de términos situados en un subintervalo es proporcional a la longitud de dicho subintervalo. Estas sucesiones se estudian en la teoría de aproximación diofántica y tienen aplicaciones en la integración de Monte Carlo.
Definición Se dice que una sucesión (s1, s2, s3, ...) de números reales está equidistribuida en un intervalo no degenerado [a, b] si para cada subintervalo [c, d ] de [a, b] se cumple que
Aquí, la notación |{s1,...,sn} ∩ [c, d ]| denota el número de elementos, de los primeros n elementos de la sucesión, que se encuentran entre c y d.
Por ejemplo, si una sucesión es equidistribuida en [0, 2], dado que el intervalo [0,5, 0,9] ocupa 1/5 de la longitud del intervalo [0, 2]. A medida que n aumenta, la proporción de los primeros n elementos de la sucesión que caen entre 0,5 y 0,9 debe aproximarse a 1/5. En términos generales, se podría decir que cada elemento de la sucesión tiene la misma probabilidad de caer en cualquier punto de su rango. Sin embargo, esto no significa que (sn) sea una sucesión de variable aleatoria; más bien, es una sucesión determinada de números reales.
Discrepancia Se define la discrepancia DN para una sucesión (s1, s2, s3, ...) con respecto al intervalo [a, b] como:
Una sucesión es equidistribuida si la discrepancia DN tiende a cero cuando N tiende a infinito.
La equidistribución es un criterio bastante débil para expresar que una sucesión llena el segmento sin dejar huecos. Por ejemplo, las extracciones de una variable aleatoria uniforme sobre un segmento serán equidistribuidas en dicho segmento, pero habrá grandes huecos en comparación con una sucesión que primero enumera múltiplos de ε en el segmento, para algún valor pequeño de ε, de una manera apropiada, y luego continúa haciéndolo para valores de ε cada vez más pequeños. Para criterios más rigurosos y para construcciones de sucesiones con una distribución más uniforme, véase sucesión de baja discrepancia.
Criterio de la integral de Riemann para la equidistribución Recordando que si f es una función con integral de Riemann en el intervalo [a, b], entonces su integral es el límite de las sumas de Riemann obtenidas al muestrear la función f en un conjunto de puntos elegidos de una partición fina del intervalo. Por lo tanto, si alguna sucesión está equidistribuida en [a, b], se espera que esta sucesión pueda usarse para calcular la integral de una función integrable de Riemann. Esto conduce al siguiente criterioKuipers & Niederreiter (2006) pp. 2–3 para una sucesión equidistribuida:
Supóngase que (s1, s2, s3, ...) es una sucesión contenida en el intervalo [a, b]. Entonces, las siguientes condiciones son equivalentes:
La sucesión es equidistribuida en [a, b]. Para toda función integrable de Riemann (de variable compleja) , se cumple el siguiente límite:
{|class="toccolours collapsible collapsed" width="90%" style="text-align:left" !Demostración |- |Primero, obsérvese que la definición de una sucesión equidistribuida es equivalente al criterio integral siempre que f sea la función indicatriz de un intervalo: Si , entonces el lado izquierdo es la proporción de puntos de la sucesión que caen en el intervalo [c, d], y el lado derecho es exactamente .
Esto significa que 2 ⇒ 1 (ya que las funciones indicadoras son integrables de Riemann), y 1 ⇒ 2 cuando f es una función indicadora de un intervalo. Resta suponer que el criterio integral se cumple para las funciones indicadoras y demostrar que también se cumple para funciones integrables de Riemann en general.
Obsérvese que ambos lados de la ecuación del criterio integral son lineales en f, por lo que el criterio se cumple para las combinaciones lineales de indicadores de intervalo, es decir, para funciones escalonadas.
Para demostrar que se cumple cuando f es una función integrable de Riemann general, supóngase primero que f es real. Entonces, usando la definición de Darboux de la integral, se tienen para todo ε>0 dos funciones escalonadas f1 y f2 tales que f1=f=f2 y . Nótese que:
Al restar, se ve que los límites superior e inferior y difieren como máximo en ε. Como ε es arbitrario, se deduce la existencia de un límite, y por la definición de la integral de Darboux, este es el límite correcto.
Finalmente, para funciones integrables de Riemann con valores complejos, el resultado se deduce nuevamente de la linealidad y del hecho de que toda función de este tipo puede escribirse como f = u + vi, donde u y v son funciones reales integrables de Riemann. ∎
Este criterio conduce a la idea de la integración de Monte Carlo, donde las integrales se calculan muestreando la función sobre una sucesión de variables aleatorias equidistribuidas en el intervalo.
No es posible generalizar el criterio integral a una clase de funciones mayor que las integrables de Riemann. Por ejemplo, si se considera la integral de Lebesgue y se toma f como perteneciente a L1, este criterio no se cumple. Como contraejemplo, se toma f como función indicatriz de alguna sucesión equidistribuida. Entonces, en el criterio, el lado izquierdo siempre es 1, mientras que el lado derecho es cero, porque la sucesión es numerable, por lo que f es cero casi en todas partes.
De hecho, el teorema de De Bruijn-Post establece el recíproco del criterio anterior: si f es una función tal que el criterio anterior se cumple para cualquier sucesión equidistribuida en [a, b], entonces f es integrable de Riemann en [a, b].http://math.uga.edu/~pete/udnotes.pdf, Theorem 8
Equidistribución módulo 1 Una sucesión (a1, a2, a3, ...) de números reales se denomina equidistribuida módulo 1 o uniformemente distribuida módulo 1 si la sucesión de la parte fraccionaria de an, denotada por (an) o por an − ⌊an⌋, está equidistribuida en el intervalo [0, 1].
Ejemplos
El teorema de equidistribución: la sucesión de todos los múltiplos de un número irracional α, 0, α, 2α, 3α, 4α, ... : es equidistribuida módulo 1.Kuipers & Niederreiter (2006) p. 8 De forma más general, si p es un polinomio con al menos un coeficiente distinto del término constante irracional, entonces la sucesión p(n) es uniformemente distribuida módulo 1.
Esto fue demostrado por Weyl y es una aplicación del teorema de la diferencia de van der Corput.Kuipers & Niederreiter (2006) p. 27
La sucesión log(n) no está uniformemente distribuida módulo 1. Este hecho está relacionado con la ley de Benford. La sucesión de todos los múltiplos de un α irracional mediante sucesivos números primos, ::2α, 3α, 5α, 7α, 11α, ... :es equidistribuida módulo 1. Este es un famoso teorema de la teoría analítica de números, publicado por Iván Vinográdov en 1948.Kuipers & Niederreiter (2006) p. 129 La sucesión de van der Corput es equidistribuida.Kuipers & Niederreiter (2006) p. 127
Criterio de Weyl El criterio de Weyl establece que la sucesión an es equidistribuida módulo 1 si y solo si para todos los números enteros distintos de cero ℓ,
El criterio recibe su nombre de Hermann Weyl, quien lo formuló por primera vez. Permite reducir las cuestiones de equidistribución a cotas para la suma exponencial, un método fundamental y general.
{|class="toccolours collapsible collapsed" width="90%" style="text-align:left" !Demostración simplificada |- |Si la sucesión es equidistribuida módulo 1, se puede aplicar el criterio integral de Riemann (descrito anteriormente) a la función , cuya integral es cero en el intervalo [0, 1]. Esto conlleva inmediatamente al criterio de Weyl.
Recíprocamente, supóngase que se cumple el criterio de Weyl. Entonces, el criterio integral de Riemann se cumple para las funciones f como se describió anteriormente, y por la linealidad del criterio, se cumple para cualquier polinomio trigonométrico. Mediante el teorema de aproximación de Weierstrass y un argumento de aproximación, esto se extiende a cualquier función continua f.
Finalmente, sea f la función indicadora de un intervalo. Es posible acotar f superior e inferiormente mediante dos funciones continuas en el intervalo, cuyas integrales difieren en un ε arbitrario. Mediante un argumento similar a la demostración del criterio integral de Riemann, es posible extender el resultado a cualquier función indicadora de intervalo f, demostrando así la equidistribución módulo 1 de la sucesión dada. ∎
Generalizaciones Una forma cuantitativa del criterio de Weyl viene dada por la desigualdad de Erdős-Turán. El criterio de Weyl se extiende naturalmente a dimensiones superiores, asumiendo la generalización natural de la definición de equidistribución módulo 1:
La sucesión vn de vectores en Rk es equidistribuida módulo 1 si y solo si para cualquier vector no nulo ℓ ∈ Zk,
Ejemplo de uso El criterio de Weyl puede usarse para demostrar fácilmente el teorema de equidistribución, que establece que la sucesión de múltiplos 0, α, 2α, 3α, ... de algún número real α es equidistribuida módulo 1 si y solo si α es irracional.
Supóngase que α es irracional y denótese la sucesión como aj = jα (donde j comienza en 0, para simplificar la fórmula posterior). Sea ℓ ≠ 0 un entero. Como α es irracional, ℓα nunca puede ser un entero, por lo que nunca puede ser 1. Usando la fórmula para la suma de una serie geométrica finita,
se obtiene una cota finita que no depende de n. Por lo tanto, después de dividir por n y hacer que n tienda a infinito, el lado izquierdo tiende a cero, y se cumple el criterio de Weyl.
Por el contrario, observe que si α es un número racional, entonces esta sucesión no es equidistribuida módulo 1, ya que solo hay un número finito de opciones para la parte fraccionaria de aj = jα.
Distribución uniforme completa Se dice que una sucesión de números reales tiene una distribución k-uniforme módulo 1 si no solo la sucesión de partes fraccionarias tiene una distribución uniforme en , sino que también la sucesión , donde se define como , tiene una distribución uniforme en .
Se dice que una sucesión de números reales está completamente uniformemente distribuida módulo 1 si e -distribuida uniformemente para cada número natural .
Por ejemplo, la sucesión está uniformemente distribuida módulo 1 (o 1-uniformemente distribuida) para cualquier número irracional , pero nunca está 2-uniformemente distribuida. En cambio, la sucesión está completamente uniformemente distribuida para casi todos los (es decir, para todos los excepto para un conjunto de medida 0).
Teorema de la diferencia de van der Corput Un teorema de Johannes van der Corput establece que si para cada h la sucesión sn+h - sn tiene una distribución uniforme módulo 1, entonces también la tiene sn.Kuipers & Niederreiter (2006) p. 26Montgomery (1994) p. 18
Un conjunto de van der Corput es un conjunto H de enteros tal que si para cada h en H la sucesión sn+h - sn tiene una distribución uniforme módulo 1, entonces también la tiene sn.
Teoremas métricos Los teoremas métricos describen el comportamiento de una sucesión parametrizada para casi todos los valores de algún parámetro α: es decir, para valores de α que no pertenecen a un conjunto excepcional de medida de Lebesgue cero.
Para cualquier sucesión de enteros distintos bn, la sucesión (bnα) es equidistribuida módulo 1 para casi todos los valores de α. La sucesión (α n) es equidistribuida módulo 1 para casi todos los valores de α > 1. Se desconoce si las sucesiones (en ) o (π n ) son equidistribuidas módulo 1. Sin embargo, se sabe que la sucesión (αn) no es equidistribuida módulo 1 si α es un número de Pisot-Vijayaraghavan.
Sucesión bien distribuida Una sucesión (s1, s2, s3, ...) de números reales se denomina bien distribuida en [a, b] si para cualquier subintervalo [c, d ] de [a, b] se cumple que:
uniformemente en k. Es evidente que toda sucesión bien distribuida es uniformemente distribuida, pero lo contrario no se cumple. La definición de bien distribuida módulo 1 es análoga.