En matemáticas, el método de van der Corput permite generar estimaciones para el valor de sumas exponenciales. Este método aplica dos procesos, los procesos A y B de van der Corput, que relacionan las sumas con sumas más simples, más fáciles de estimar.
Los procesos se aplican a sumas exponenciales de la forma:
donde f es una función infinitamente diferenciable suficientemente exponencial y e(x) denota exp(2πix).
Proceso A Para aplicar el proceso A, se escribe la primera diferencia fh(x) para f(x+h) - f(x).
Supóngase que existe H ≤ b - a tal que:
Entonces:
Proceso B El proceso B transforma la suma que involucra a f en una que involucra una función g definida en términos de la derivada de f. Supóngase que f es monótona creciente con f'(a) = α, f'(b) = β. Entonces, f' es invertible en [α,β] con inversa u, por ejemplo. Supóngase además que f'' ≥ λ > 0. Entonces, se puede escribir que:
y se tiene que:
Aplicar nuevamente el proceso B a la suma que involucra a g devuelve la suma sobre f y, por lo tanto, no proporciona información adicional.
Pares de exponentes El método de pares de exponentes proporciona una clase de estimaciones para funciones con una propiedad de suavidad particular. Fíjense los parámetros N, R, T, s, δ, y considérense las funciones f definidas en un intervalo [N, 2N] que son R veces continuamente diferenciables, satisfaciendo:
uniformemente en [a, b] para 0 ≤ r < R.
Se dice que un par de números reales (k, l) con 0 ≤ k ≤ 1/2 ≤ l ≤ 1 es un par exponencial si para cada σ > 0 existen δ y R que dependen de k, l, σ tales que:
uniformemente en f.
Mediante el Proceso A, se comprueba que si (k, l) es un par exponencial, entonces también lo es .
Mediante el Proceso B, se encuentra que también lo es .
Una cota trivial muestra que (0, 1) es un par exponencial.
El conjunto de pares de exponentes es convexo.
Se sabe que si (k,l) es un par de exponentes, entonces la función zeta de Riemann sobre la línea crítica satisface:
donde .
La conjetura del par de exponentes afirma que para todo ε > 0, el par (ε,1/2+ε) es un par de exponentes. Esta conjetura implica la hipótesis de Lindelöf.
Referencias
Bibliografía
Categoría:Exponenciales Categoría:Teoría analítica de números