Álgebra y teselaciones: homomorfismos al servicio de la geometría es un libro de texto del área de las matemáticas que describe el uso de la teoría de grupos para responder preguntas relacionadas con las teselaciones y panales de abeja de dimensiones superiores, así como con las particiones del plano euclidiano y de espacios de dimensiones superiores en teselas congruentes. Fue escrito por Sherman K. Stein y Sándor Szabó, y publicado por la Asociación Matemática de América como el volumen 25 de su serie Carus Mathematical Monographs en 1994. En 1998 ganó el Premio Beckenbach de Librosy, posteriormente, fue reimpreso en dimensión de bolsillo en 2008.

Temas Los siete capítulos del libro son, en gran medida, independientes y abordan diferentes problemas que combinan las teselaciones y el álgebra. A lo largo de la obra se analiza la historia del tema, así como el estado actual de la técnica, y se incluyen numerosas ilustraciones.

El primer capítulo aborda una conjetura de Hermann Minkowski, según la cual, en cualquier teselado reticular de un espacio euclidiano mediante hipercubos unitarios ―es decir, un teselado en el que una red de simetrías de traslaciones transforma cualquier hipercubo en cualquier otro hipercubo―, dos cubos deben encontrarse cara a cara. Este resultado fue demostrado de manera afirmativa mediante el teorema de Hajós en teoría de grupos, pero una generalización de esta cuestión a teselados no reticulares ( la conjetura de Keller ) fue refutada poco antes de la publicación del libro, en parte mediante el uso de métodos de teoría de grupos similares.

Los tres capítulos sigiuentes tratan sobre teselaciones reticulares mediante policubos . El problema consiste en determinar, a partir de la forma del policubo, si en toda teselación los cubos están en contacto cara a cara o, de manera equivalentemente, si la red de simetrías debe ser un subgrupo de la red entera. Tras un capítulo dedicado la versión general de este problema, los dos capítulos consideran clases especiales de policubos con forma de cruz y "semicruz", tanto con respecto a la teselación como, cuando estas formas no teselan, con respecto a cuán densamente se pueden empaquetar. En tres dimensiones, este es el notorio problema del empaquetamiento de trípodes .

El capítulo cinco aborda el teorema de Monsky sobre la imposibilidad de particionar un cuadrado en un número impar de triángulos de igual área, y presenta su demostración mediante la valuación 2-ádica. Por su parte, el capítulo seis aplica la teoría de Galois a problemas más generales de teselado de polígonos con triángulos congruentes, como la imposibilidad de teselar un cuadrado con triángulos rectángulos de 30°- 60°-90°.

El capítulo final retoma el tema abordado en el primero y presenta la generalización del teorema de Hajós, desarrollada por László Rédei . Los apéndices incluyen material introductorio sobre teoría de retículos, sucesiones exactas, grupos abelianos libres y la teoría de polinomios ciclotómicos.

Público y recepción Álgebra y teselaciones puede ser leído por estudiantes de matemáticas de pregrado o posgrado con conocimientos básicos de álgebra abstracta, y constituye una fuente de aplicaciones para este tema. Además, puede utilizarse como libro de texto, pues incorpora ejercicios distribuidos a lo largo de sus capítulos.

El crítico William J. Walton escribe que «El estudiante o matemático cuyo área de interés sea el álgebra disfrutará de este texto». En 1998, la Asociación Matemática de América le otorgó el Premio Beckenbach al Mejor Libro como una de sus mejores publicaciones. La mención del premio lo describió como «una exposición a la vez erudita y atractiva de esta área sustancial y atemporal de las matemáticas».

Referencias , reprinted as

Lecturas adicionales

Categoría:Teselado