En teoría de números, un número ideal es un entero algebraico que representa un ideal en el anillo de los números enteros de un cuerpo de números algebraicos. El concepto fue desarrollado por Ernst Kummer y condujo a la definición de Richard Dedekind de los ideales para anillos. Un ideal en el anillo de los enteros de un cuerpo de números algebraico es principal si consta de múltiplos de un solo elemento del anillo. Según el teorema del ideal principal, cualquier ideal no principal se convierte en principal al extenderse a un ideal del cuerpo de clases de Hilbert. Esto significa que existe un elemento del anillo de enteros del cuerpo de la clases de Hilbert, que es un número ideal, tal que el ideal no principal original es igual al conjunto de todos los múltiplos de este número ideal por elementos de este anillo de enteros que pertenecen al anillo de enteros del cuerpo original.

Ejemplo Por ejemplo, sea una raíz de . Entonces, el anillo de enteros del cuerpo es , lo que significa que todos los con y enteros forman el anillo de enteros. Un ejemplo de ideal no principal en este anillo es el conjunto de todos los donde y son enteros. El cubo de este ideal es principal, y de hecho, grupo de clases es cíclico de orden tres. El cuerpo de clases correspondiente se obtiene al adjuntar un elemento que satisface a , dando como resultado . Un número ideal para el ideal no principal es . Dado que este satisface la ecuación , es un entero algebraico.

Todos los elementos del anillo de enteros del cuerpo de clases que, al multiplicarse por , dan como resultado , son de la forma , donde:

y

Los coeficientes α y β también son enteros algebraicos, que satisfacen:

y

respectivamente. Al multiplicar por el número ideal se obtiene , que es el ideal no principal.

Historia Kummer publicó por primera vez un artículo sobre el fallo de la factorización única en cuerpos ciclotómicos en 1844 en una revista poco conocida; que sería reimpreso en 1847 en la revista de Liouville. En trabajos posteriores, en 1846 y 1847, publicó su teorema principal: la factorización única en primos (reales e ideales).

Se cree ampliamente que Kummer llegó a sus "números complejos ideales" debido a su interés en el último teorema de Fermat. Incluso se cuenta a menudo que Kummer, al igual que Lamé, creía haber demostrado el Último Teorema de Fermat hasta que Lejeune Dirichlet le dijo que su argumento se basaba en la factorización única; pero la historia fue contada por primera vez por Kurt Hensel en 1910 y la evidencia indica que probablemente se derive de una confusión de una de las fuentes de Hensel. Harold Edwards dice que la creencia de que Kummer estaba principalmente interesado en el Último Teorema de Fermat "es sin duda errónea" (Edwards 1977, p. 79). El uso que hace Kummer de la letra λ para representar un número primo, α para denotar la λ-ésima raíz de la unidad, y su estudio de la factorización del número primo en "números complejos compuestos por -ésimas raíces de la unidad" se derivan directamente de un artículo de Jacobi que trata sobre leyes de reciprocidad superiores. Las memorias de Kummer de 1844 fueron en honor a la celebración del jubileo de la Universidad de Königsberg y pretendían ser un tributo a Jacobi. Aunque Kummer había estudiado el Último Teorema de Fermat en la década de 1830 y probablemente era consciente de que su teoría tendría implicaciones para su estudio, es más probable que el tema de interés de Jacobi (y el de Gauss), las leyes de reciprocidad superiores, tuviera mayor importancia para él. Kummer se refería a su propia demostración parcial del Último Teorema de Fermat para los primos regulares como «una curiosidad de la teoría de números más que un tema fundamental», y a la ley de reciprocidad superior (que enunció como una conjetura) como «el tema principal y la cúspide de la teoría de números contemporánea». Por otro lado, esta última afirmación se produjo cuando Kummer aún estaba entusiasmado con el éxito de su trabajo sobre la reciprocidad y cuando su trabajo sobre el Último Teorema de Fermat estaba perdiendo impulso, por lo que quizás deba tomarse con cierto escepticismo.

La extensión de las ideas de Kummer al caso general fue realizada de forma independiente por Kronecker y Dedekind durante los siguientes cuarenta años. Una generalización directa encontró dificultades formidables, lo que finalmente llevó a Dedekind a la creación de la teoría de módulos y de ideales. Kronecker abordó estas dificultades desarrollando una teoría de formas (una generalización de forma cuadrática) y una teoría de divisores. La contribución de Dedekind se convertiría en la base de la teoría de anillos y del álgebra abstracta, mientras que la de Kronecker se convertiría en una herramienta fundamental en geometría algebraica.

Referencias

Bibliografía Nicolas Bourbaki, Elements of the History of Mathematics. Springer-Verlag, NY, 1999. Harold M. Edwards, Fermat's Last Theorem. A genetic introduction to number theory. Graduate Texts in Mathematics vol. 50, Springer-Verlag, NY, 1977. C.G. Jacobi, Über die complexen Primzahlen, welche in der theori der Reste der 5ten, 8ten, und 12ten Potenzen zu betrachten sind, Monatsber. der. Akád. Wiss. Berlín (1839) 89-91. E.E. Kummer, De numeris complexis, qui radicibus unitatis et numeris integris realibus constante, Gratulationschrift der Univ. Breslau zur Jubelfeier der Univ. Konigsberg, 1844; reimpreso en Jour. de Matemáticas. 12 (1847) 185-212. E.E. Kummer, Über die Zerlegung der aus Wurzeln der Einheit gebildeten complexen Zahlen in ihre Primfactoren, Jour. für Math. (Crelle) 35 (1847) 327-367. John Stillwell, introducción a «Teoría de los enteros algebraicos» de Richard Dedekind. Cambridge Mathematical Library, Cambridge University Press, Gran Bretaña, 1996.

Enlaces externos Números ideales, Demostración de que la teoría de los números ideales conserva la factorización única para los enteros ciclotómicos en Blog del último teorema de Fermat.

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