La profundidad matemática es una noción evaluativa empleada en filosofía de la matemática y en la práctica matemática para caracterizar teoremas, demostraciones, métodos, conceptos o problemas que revelan una estructura no trivial, conectan dominios diversos, explican por qué un resultado es verdadero o generan consecuencias fecundas para nuevas investigaciones.
A diferencia de propiedades formales como la consistencia o la demostrabilidad, la profundidad matemática no posee una definición generalmente aceptada. Suele estudiarse dentro de la estética de las matemáticas, aunque sus problemas se extienden a la epistemología, la metodología, la lógica matemática, la teoría de la demostración y la filosofía de la práctica matemática.
Historia y uso del término El uso de «profundidad» en matemáticas antecede a su análisis filosófico sistemático. Jeremy Gray ha rastreado una tradición de uso del término ligada a la teoría de números de Carl Friedrich Gauss, en la que ciertos resultados fueron considerados profundos por revelar rasgos estructurales de la aritmética. En esa tradición, llamar «profundo» a un concepto, teorema o demostración expresa una valoración alta, pero no meramente subjetiva, pues remite a la posición del resultado dentro de la organización interna de las matemáticas.
El estudio filosófico contemporáneo de la profundidad matemática recibió un impulso importante con el número especial de Philosophia Mathematica publicado en 2015. Ese número incluyó trabajos de Andrew Arana sobre el teorema de Szemerédi, Jeremy Gray sobre la tradición gaussiana, Marc Lange sobre profundidad y explicación, John Stillwell sobre los sentidos de «profundidad» y Alasdair Urquhart sobre enfoques lógicos y demostrativos de la profundidad.
El debate posterior ha ampliado los casos de estudio. Yong Cheng analizó la profundidad de los teoremas de incompletitud de Gödel mediante criterios como los de influencia, fecundidad y unidad. Facundo Camargo Platas y Unai León Rico propusieron analizar la profundidad mediante la noción de «franja de verdad» y aplicaron esa propuesta al teorema de Picard-Lindelöf.
Problemas filosóficos La literatura distingue varios problemas recurrentes sobre la profundidad matemática:
¿Cuáles son los portadores de profundidad? ¿Los teoremas, las demostraciones, las conjeturas, los métodos, las definiciones, los axiomas o áreas completas de la matemática? ¿Es posible que la profundidad pueda reducirse a valores cercanos, como los de importancia, belleza, elegancia, fecundidad, simplicidad, dificultad, poder explicativo o capacidad unificadora? ¿La profundidad es una propiedad objetiva de los resultados matemáticos o depende de los intereses, las capacidades cognitivas, la formación histórica y las prácticas de una comunidad matemática?
La profundidad suele entenderse como una cuestión de grado, no como una propiedad binaria. Un teorema, una prueba o un axioma pueden ser más o menos profundos respecto de otros, dependiendo del criterio empleado.
Portadores de profundidad Los teoremas son los portadores de profundidad menos controvertidos. Andrew Arana toma el teorema de Szemerédi como caso de estudio porque ha sido considerado profundo por numerosos matemáticos y permite comparar distintas concepciones del concepto. El teorema afirma, en términos generales, que todo subconjunto suficientemente denso de los números naturales contiene progresiones aritméticas arbitrariamente largas.
Las demostraciones también han sido consideradas posibles portadoras de profundidad. Marc Lange sostiene que, en algunos casos, una demostración es más profunda que otra porque proporciona una explicación más profunda de por qué el teorema vale. Alasdair Urquhart compara la profundidad demostrativa con la profundidad de una combinación en ajedrez, donde una jugada puede ser poco obvia y, al mismo tiempo, decisiva para alcanzar el resultado.
Otros autores han propuesto extender la noción a métodos, conjeturas, conceptos, definiciones, ejemplos o intuiciones matemáticas. Esta ampliación permite describir más aspectos de la práctica matemática, pero dificulta una definición unificada de la profundidad.
Los axiomas han recibido menos atención como portadores de profundidad. Camargo Platas y León Rico sostienen que, si los axiomas se entienden como resultados de prácticas matemáticas previas, entonces pueden ser profundos por sus consecuencias, por las propiedades demostradas sobre ellos o por su capacidad de reorganizar teorías enteras. El descubrimiento de la independencia del quinto postulado de Euclides, por ejemplo, permitió la aparición de las geometrías no euclidianas y puede interpretarse como un caso de profundidad axiomática.
Concepciones principales
Concepción genética La concepción genética explica la profundidad por referencia al origen social o histórico del resultado. Un resultado es profundo porque procede de un matemático especialmente talentoso, porque tiene prestigio en una comunidad o porque ha sido reconocido históricamente como relevante. Su principal dificultad es que tiende a hacer depender la profundidad de factores sociológicos o psicológicos, más que de propiedades matemáticas del resultado.
Concepción consecuencialista La concepción consecuencialista entiende la profundidad por las consecuencias de un resultado. Un teorema es profundo si es fecundo, abre nuevas líneas de investigación, reorganiza áreas matemáticas o permite resolver problemas previamente desconectados. Cheng usa esta estrategia para explicar la profundidad de los teoremas de incompletitud de Gödel.
La dificultad de esta concepción es que puede volver ambigua la noción de profundidad, pues no termina de quedar claro si esas consecuencias son indicios de una propiedad matemática objetiva o si dependen de criterios históricos, sociológicos o comunitarios. Además, por sí sola no resuelve qué entidades son portadoras de profundidad, ni si la profundidad puede reducirse a valores como los de importancia, fecundidad o utilidad metodológica.
Concepción evidencialista La concepción evidencialista sitúa la profundidad en las demostraciones y en las propiedades epistémicas de las pruebas. Una demostración puede ser profunda porque responde a preguntas de tipo «por qué» que otra prueba deja sin resolver. También puede ser profunda porque conecta áreas matemáticas diferentes, emplea métodos impuros de manera no artificial o permite ver una estructura que no era visible en el enunciado del teorema.
Esta concepción enfrenta el problema de la individuación de las demostraciones. No siempre es claro cuándo dos pruebas aparentemente distintas son realmente dos demostraciones diferentes y cuándo son variantes de una misma estrategia. El problema se agrava si se admite que una prueba puede incorporar demostraciones de resultados auxiliares, como ocurre cuando una prueba del teorema de Picard-Lindelöf usa o demuestra el teorema del punto fijo de Banach.
Concepción cosmológica La concepción cosmológica explica la profundidad como la aparición de un orden, estructura o regularidad inesperada. Se puede formalizar esta idea mediante una función que mide el grado de orden expresado por un enunciado y una relación que indica que un grado de orden es mucho menor que otro. Según esta formulación, un teorema sería cosmológicamente profundo si:
La idea es que las premisas expresan relativamente poca estructura y la conclusión revela una estructura mucho más rica. La dificultad de esta concepción consiste en precisar qué mide exactamente y cómo comparar formalmente el orden de premisas y conclusiones.
Profundidad y explicación matemática La profundidad matemática se relaciona estrechamente con la explicación matemática. Una demostración puede ser más profunda que otra si explica mejor por qué se cumple el teorema. Esta explicación no se reduce a derivar válidamente la conclusión desde las premisas, porque dos demostraciones pueden ser igualmente correctas y, sin embargo, diferir en su capacidad explicativa.
La relación entre explicación y profundidad también aparece en el debate sobre explicaciones matemáticas de hechos empíricos. Si un resultado matemático permite explicar un fenómeno físico, su profundidad puede extenderse más allá de la matemática pura. Camargo Platas y León Rico interpretan el teorema de Picard-Lindelöf como un caso en que un resultado matemático articula dominios matemáticos y físicos, porque permite formular rigurosamente condiciones de determinación en sistemas descritos por ecuaciones diferenciales.
Franja de verdad La noción de franja de verdad ha sido usada para explicar un tipo de profundidad ligada a la ampliación del radio de acción de un teorema. Un teorema no se vuelve más verdadero en sentido formal cuando recibe nuevas demostraciones, pero su verdad material se «engruesa» al conectarse con más dominios, métodos o teorías.
Cabe distinguir entre el valor verificativo-funcional de una proposición y su rango de acción:
El valor verificativo funcional remite a su verdad formal dentro de un sistema determinado. El rango de acción remite a la capacidad del resultado para conservar un papel inferencial o estructural en diversos dominios.
Así, un teorema profundo funciona como un nodo en una red de conocimientos, porque articula áreas que inicialmente podían parecer separadas.
El teorema de Pitágoras es un ejemplode esta idea. Elisha Scott Loomis clasificó centenares de demostraciones de ese teorema en grupos algebraicos, geométricos, cuaterniónicos y dinámicos. La multiplicidad de pruebas se interpreta como un indicio de que el teorema conecta regiones diversas de la matemática.
Ejemplos
Teorema de Szemerédi Todo subconjunto suficientemente denso de los números naturales contiene progresiones aritméticas arbitrariamente largas. En su forma finitaria, si y , existe un entero positivo tal que todo conjunto con contiene una progresión aritmética de longitud . Es decir, existen y tales que:
El mismo resultado puede formularse mediante densidad superior. Si
es positiva, entonces contiene progresiones aritméticas de longitud arbitraria. El contenido del teorema consiste, por tanto, en mostrar que la hipótesis de densidad positiva fuerza la aparición de estructura aditiva.
El problema puede reformularse como un problema de evitación. Dado un entero , sea el tamaño máximo de un subconjunto de que no contiene progresiones aritméticas de longitud . El teorema implica que, para todo fijo,
Esta formulación muestra la desproporción entre la hipótesis y la conclusión. Incluso si se intenta elegir tantos números como sea posible evitando progresiones de longitud , la proporción de números elegibles tiende a cero cuando crece.
El trasfondo histórico del resultado parte del teorema de Schur, que garantiza soluciones monocromáticas de bajo coloraciones finitas. Otro antecedente es el teorema de van der Waerden, según el cual toda coloración finita de un intervalo suficientemente largo contiene una progresión aritmética monocromática de longitud dada. La conjetura de Erdős-Turán eliminó la condición de coloración y la reemplazó por una condición de densidad. Roth probó el caso de progresiones de longitud tres mediante análisis de Fourier, y Szemerédi resolvió el caso general en 1975.