La cuadratura adaptativa es un método de integración numérica en el que la integración de una función es aproximada utilizando reglas de cuadratura estáticas en subintervalos adaptados de la región de integración. En general, los algoritmos adaptativos son tan eficientes y efectivos como los algoritmos tradicionales para integrandos con buen comportamiento, pero también son efectivos para integrandos con mal comportamiento, para los que los algoritmos tradicionales pueden fallar.
Esquema general La cuadratura adaptativa sigue el siguiente esquema general:
1. Procedimiento integrar ( f, a, b, τ ) 2. 3. 4. si ε > τ entonces 5. m = (a + b) / 2 6. Q = integrar(f, a, m, τ/2) + integrar(f, m, b, τ/2) 7. fin si 8. devolver Q
Se calcula una aproximación a la integral de sobre el intervalo (línea 2), así como una estimación del error (línea 3). Si el error estimado es mayor que la tolerancia requerida (línea 4), el intervalo se subdivide (línea 5) y la cuadratura se aplica a ambas mitades por separado (línea 6). Se devuelve la estimación inicial o la suma de las mitades calculadas recursivamente (línea 7).
Los componentes importantes son la regla de cuadratura en sí misma:
el estimador de error
y la lógica para decidir qué intervalo subdividir y cuándo finalizar.
Existen diversas variantes de este esquema. La más común se analiza más adelante.
Reglas básicas Las reglas de cuadratura generalmente tienen la forma:
donde los nodos y los pesos generalmente se calculan previamente.
En el caso más simple, se utilizan fórmulas de Newton-Cotes de grado par, donde los nodos están espaciados uniformemente en el intervalo:
Cuando se utilizan estas reglas, los puntos donde se ha evaluado pueden reutilizarse en la recursión:
Se utiliza una estrategia similar con la cuadratura de Clenshaw-Curtis, donde los nodos se eligen como:
O bien, cuando se utiliza la cuadratura de Fejér:
También se pueden utilizar otras reglas de cuadratura, como la cuadratura de Gauss o la cuadratura de Gauss-Kronrod.
Un algoritmo puede optar por utilizar diferentes métodos de cuadratura en distintos subintervalos; por ejemplo, utilizar un método de orden superior solo donde el integrando es suave.
Estimación de errores Algunos algoritmos de cuadratura generan una secuencia de resultados que debería aproximarse al valor correcto. De lo contrario, se puede usar una regla nula que tiene la forma de la regla de cuadratura anterior, pero cuyo valor sería cero para un integrando simple (por ejemplo, si el integrando fuera un polinomio del grado apropiado).
Véase: Extrapolación de Richardson Método de Romberg
Lógica de subdivisión La cuadratura adaptativa local hace que el error aceptable para un intervalo dado sea proporcional a la longitud de dicho intervalo. Este criterio puede ser difícil de satisfacer si los integrandos se comportan mal solo en unos pocos puntos, por ejemplo, con algunas discontinuidades escalonadas. Alternativamente, se podría exigir únicamente que la suma de los errores en cada uno de los subintervalos sea menor que el requisito del usuario. Esto sería la cuadratura adaptativa global. La cuadratura adaptativa global puede ser más eficiente (utiliza menos evaluaciones del integrando), pero generalmente es más compleja de programar y puede requerir más espacio de trabajo para registrar la información sobre el conjunto actual de intervalos.
Véase también Derivación numérica Tamaño de paso adaptativo en EDO Método de Simpson adaptativo para un ejemplo de cuadratura adaptativa QUADPACK, una biblioteca FORTRAN que utiliza cuadratura adaptativa global
Referencias
Bibliografía
John R. Rice. Un metalgoritmo para la cuadratura adaptativa. Journal of the ACM 22(1) pp 61-82 (enero de 1975).
Categoría:Integración numérica