El análisis espectral de mínimos cuadrados (AEMC) es una clase de métodos para estimar un espectro de frecuencia ajustando una sinusoide a los datos mediante un ajuste por mínimos cuadrados. A diferencia del análisis de Fourier, el método espectral más utilizado en ciencia, los datos no necesitan estar igualmente espaciados para usar el AEMC. Además, mientras que el análisis de Fourier generalmente amplifica el ruido de largo período en registros largos o con huecos, el AEMC mitiga estos problemas.

El primer método AEMC estrictamente de mínimos cuadrados se desarrolló en 1969 y 1971, y se conoce como el método de Vanícek o el método de Gauss-Vanicek, en honor a su inventor Petr Vaníček y a Carl Friedrich Gauss, el descubridor del método de mínimos cuadrados para la minimización de errores.

Una variante del AEMC ampliamente conocida es el método de Lomb o el periodograma de Lomb-Scargle, basado en simplificaciones computacionales del método de Vanícek introducidas en las décadas de 1970 y 1980, primero por Nicholas R. Lomb y posteriormente por Jeffrey D. Scargle. Posteriormente se han desarrollado otras variantes del AEMC.

Antecedentes históricos Las estrechas conexiones entre el análisis de Fourier, el periodograma y el ajuste de sinusoides por mínimos cuadrados se conocen desde hace mucho tiempo. Sin embargo, la mayoría de los desarrollos se limitan a conjuntos de datos completos de muestras igualmente espaciadas. En 1963, Freek J. M. Barning del Mathematisch Centrum de Ámsterdam, manejó datos espaciados de forma desigual mediante técnicas similares, que incluyen tanto un análisis de periodograma equivalente a lo que hoy se denomina el método de Lomb como el ajuste por mínimos cuadrados de frecuencias seleccionadas de sinusoides determinadas a partir de dichos periodogramas, y que están conectadas por un procedimiento conocido hoy como búsqueda coincidente con ajuste posterior o búsqueda de coincidencia ortogonal.Y. C. Pati, R. Rezaiifar, and P. S. Krishnaprasad, "Orthogonal matching pursuit: Recursive function approximation with applications to wavelet decomposition," in Proc. 27th Asilomar Conference on Signals, Systems and Computers, A. Singh, ed., Los Alamitos, CA, USA, IEEE Computer Society Press, 1993

Petr Vaníček, un investigador canadiense geofísico y geodesta de la Universidad de Nuevo Brunswick, propuso en 1969 el método de búsqueda por coincidencia para datos con intervalos iguales y desiguales, al que denominó análisis espectral sucesivo y cuyo resultado fue un periodograma de mínimos cuadrados. Generalizó este método para tener en cuenta cualquier componente sistemático más allá de una media simple, como una tendencia secular lineal (cuadrática, exponencial, etc.) predicha de magnitud desconocida, y lo aplicó a diversas muestras en 1971.

El método de mínimos cuadrados de Vanícek fue simplificado en 1976 por Nicholas R. Lomb de la Universidad de Sídney, quien señaló su estrecha relación con el análisis del periodograma. Posteriormente, Jeffrey D. Scargle modificó y analizó la definición del periodograma de datos con intervalos desiguales en el Centro de Investigación Ames, demostrando que, con pequeñas modificaciones, se vuelve idéntica a la fórmula de mínimos cuadrados de Lomb para el ajuste de frecuencias sinusoidales individuales.

Scargle afirma que su artículo no introduce una nueva técnica de detección, sino que estudia la fiabilidad y la eficiencia de la detección con la técnica más utilizada, el periodograma, en el caso de que los tiempos de observación estén irregularmente espaciados, y además señala, con respecto al ajuste de mínimos cuadrados de sinusoides en comparación con el análisis del periodograma, que su artículo establece, aparentemente por primera vez, que (con las modificaciones propuestas) estos dos métodos son exactamente equivalentes.

Press resume el desarrollo de la siguiente manera:

Lomb desarrolló un método de análisis espectral completamente diferente para datos muestreados de forma desigual, que mitiga estas dificultades y posee otras propiedades muy deseables, basándose en parte en trabajos anteriores de Barning y Vanicek, y que Scargle amplió posteriormente.

En 1989, Michael J. Korenberg de la Queen's University de Kingston, Ontario, desarrolló el método de búsqueda ortogonal rápida para encontrar más eficazmente una descomposición casi óptima de espectros u otros problemas, similar a la técnica que más tarde se conoció como búsqueda de coincidencia ortogonal.

Desarrollo del AEMC y variantes Método de Vanícek

En el método de Vanícek, un conjunto de datos discretos se aproxima mediante una suma ponderada de sinusoides de frecuencias determinadas progresivamente, utilizando un ajuste estándar mediante regresión lineal o mínimos cuadrados.Wells, D.E., P. Vaníček, S. Pagiatakis, 1985. Least-squares spectral analysis revisited. Department of Surveying Engineering Technical Report 84, University of New Brunswick, Fredericton, 68 pages, Available at . Las frecuencias se eligen mediante un método similar al de Barning, pero optimizando la selección de cada nueva frecuencia sucesiva al elegir la que minimiza el residuo tras el ajuste por mínimos cuadrados (equivalente a la técnica de ajuste conocida como búsqueda coincidente con preajuste. El número de sinusoides debe ser menor o igual al número de muestras de datos (considerando los senos y cosenos de la misma frecuencia como sinusoides separadas). La relación entre la DFT y la aproximación de funciones trigonométricas mediante el método de mínimos cuadrados se explica detalladamente en Strutz, 2017.Strutz, T., 2017. Explaining the Discrete Fourier Transform of real signals based on the least-squares approximation of time-discrete signals using trigonometric functions. Technical Report TECHP/2017/11, Leipzig University of Telecommnication, Available at https://doi.org/10.13140/RG.2.2.34597.81126

Un vector de datos F se representa como una suma ponderada de funciones base sinusoidales, tabuladas en una matriz A mediante la evaluación de cada función en los instantes de muestreo, con un vector de ponderación x:

donde el vector de ponderación x se elige para minimizar la suma de los errores cuadráticos al aproximar F. La solución para x es analítica, utilizando el método estándar de regresión lineal:

Aquí, la matriz A puede basarse en cualquier conjunto de funciones mutuamente independientes (no necesariamente ortogonales) al evaluarse en los instantes de muestreo. Las funciones utilizadas para el análisis espectral suelen ser senos y cosenos distribuidos uniformemente en el rango de frecuencias de interés. Si se eligen demasiadas frecuencias en un rango demasiado estrecho, las funciones no serán suficientemente independientes, la matriz estará mal condicionada y el espectro resultante carecerá de sentido.

Cuando las funciones base en A son ortogonales (es decir, no están correlacionadas, lo que significa que las columnas tienen producto escalar nulo por pares), la matriz ATA es diagonal. Cuando todas las columnas tienen la misma potencia (suma de los cuadrados de los elementos), entonces esa matriz es la matriz identidad multiplicada por una constante, por lo que la inversión es trivial. Esto último se da cuando los tiempos de muestreo están igualmente espaciados y se eligen sinusoides como senos y cosenos igualmente espaciados en pares en el intervalo de frecuencia de 0 a medio ciclo por muestra (espaciados por 1/N ciclos por muestra, omitiendo las fases sinusoidales en 0 y frecuencia máxima donde son idénticamente cero). Este caso se conoce como transformada de Fourier discreta, ligeramente reformulado en términos de mediciones y coeficientes.

— Caso DFT para N muestras y frecuencias igualmente espaciadas, dentro de un factor escalar.

Método de Lomb

En un intento por reducir la carga computacional del método de Vanícek en 1976, que actualmente ya no representa un problema, Lomb propuso utilizar la simplificación anterior en general, excepto para correlaciones por pares entre bases seno y coseno de la misma frecuencia, dado que las correlaciones entre pares de sinusoides suelen ser pequeñas, al menos cuando no están muy próximas entre sí. Esta formulación es esencialmente la del método del periodograma tradicional, pero adaptada para su uso con muestras espaciadas de forma irregular. El vector x es una estimación razonablemente buena del espectro subyacente, pero dado que se ignora cualquier correlación, Ax ya no es una buena aproximación a la señal, y el método ya no es un método de mínimos cuadrados. Sin embargo, en la literatura se sigue denominando como tal.

En lugar de simplemente calcular el producto escalar de los datos con formas de onda seno y coseno directamente, Scargle modificó la fórmula estándar del periodograma para hallar primero un retardo temporal , de modo que este par de sinusoides fueran mutuamente ortogonales en los instantes de muestreo . Además, se ajustó la fórmula para tener en cuenta las posibles diferencias de potencia entre estas dos funciones base, obteniendo así una mejor estimación de la potencia en una frecuencia. Este procedimiento hizo que su método del periodograma modificado fuera exactamente equivalente al método de Lomb. El retardo temporal , por definición, es igual a:

Entonces, el periodograma en la frecuencia se estima como:

que, como informa Scargle, tiene la misma distribución estadística que el periodograma en el caso de muestreo uniforme.

Para cualquier frecuencia individual , este método proporciona la misma potencia que un ajuste por mínimos cuadrados a sinusoides de esa frecuencia y de la forma:

En la práctica, siempre es difícil determinar si un pico de Lomb es significativo o no, especialmente cuando se desconoce la naturaleza del ruido. Por ejemplo, un pico espectral de falsa alarma en el análisis del periodograma de Lomb de una señal periódica ruidosa puede deberse al ruido en los datos de turbulencia. Los métodos de Fourier también pueden reportar picos espectrales falsos al analizar datos modificados o editados.

Periodograma generalizado de Lomb-Scargle El periodograma estándar de Lomb-Scargle solo es válido para un modelo con media cero. Comúnmente, esto se aproxima restando la media de los datos antes de calcular el periodograma. Sin embargo, esta suposición es inexacta cuando la media del modelo (las sinusoides ajustadas) es distinta de cero. El periodograma de Lomb-Scargle generalizado elimina esta suposición y resuelve explícitamente la media. En este caso, la función ajustada es:

El periodograma de Lomb-Scargle generalizado también se conoce en la literatura como periodograma de media flotante.

Método de búsqueda ortogonal rápida de Korenberg Michael Korenberg, de la Queen's University de Kingston (Ontario), desarrolló un método para seleccionar un conjunto disperso de componentes de un conjunto sobrecompleto —como componentes sinusoidales para análisis espectral— denominado búsqueda ortogonal rápida (FOS). Matemáticamente, FOS utiliza una factorización de Cholesky ligeramente modificada en un proceso de reducción del error cuadrático medio (MSER), implementado como una inversión de matriz dispersa. Al igual que otros métodos AEMC, FOS evita la principal limitación del análisis de Fourier discreto, por lo que puede identificar con precisión periodicidades incrustadas y destaca con datos espaciados de forma desigual. El método de búsqueda ortogonal rápida también se aplicó a otros problemas, como la identificación de sistemas no lineales.

Método de chi-cuadrado de Palmer Palmer ha desarrollado un método para encontrar la función que mejor se ajusta a cualquier número de armónicos elegido, lo que permite mayor libertad para encontrar funciones armónicas no sinusoidales.