En matemáticas, la orientación de un haz de vectores o de un fibrado vectorial real es una generalización del concepto de orientación de un espacio vectorial. Así, dado un fibrado vectorial real π: E → B, una orientación de E significa que, para cada fibra Ex, existe una orientación del espacio vectorial Ex y se exige que cada aplicación de trivialización (que es una aplicación de fibrado)
conserve la orientación fibra por fibra, donde Rn es la orientación estándar dada. En términos más concisos, esto significa que el grupo de estructura del paquete de marcos de E, que es el grupo lineal general real GLn(R), puede reducirse al subgrupo formado por aquellos con determinante positivo.
Si E es un fibrado vectorial real de rango n, entonces la elección de una métrica en E equivale a una reducción del grupo de estructura al grupo ortogonal O(n). En esa situación, una orientación de E equivale a una reducción de O(n) al grupo ortogonal SO(n).
Un fibrado vectorial con una orientación se denomina fibrado orientado. Un fibrado vectorial al que se le puede asignar una orientación se denomina fibrado vectorial orientable.
El invariante básico de un fibrado orientado es laclase de Euler. La multiplicación (es decir, el producto de copa) por la clase de Euler de un fibrado orientado da lugar a una sucesión de Gysin.
Ejemplos Un haz de vectores complejos está orientado de forma canónica.
La noción de orientación de un fibrado vectorial generaliza el concepto de orientación de una variedad diferenciable: la orientación de una variedad diferenciable es la orientación de su fibrado tangente. En particular, una variedad diferenciable es orientable si y solo si su fibrado tangente es orientable como fibrado vectorial. (Nota: como variedad, un fibrado tangente siempre es orientable).
Operaciones Dar una orientación a un fibrado vectorial real E de rango n equivale a dar una orientación a los haces determinantes (reales) de E. De forma similar, dar una orientación a E equivale a dar una orientación al haz de esferas unitarias de E.
Así como un fibrado vectorial real se clasifica mediante los grasmanianos reales infinitos, los fibrados orientados se clasifican mediante la grassmanniana infinita de espacios vectoriales reales orientados.
Espacio de Thom
Desde el punto de vista cohomológico, para cualquier anillo Λ, una Λ-orientación de un fibrado vectorial real E de rango n implica la elección (y existencia) de una clase
en el anillo de cohomología del espacio de Thom T(E) tal que u genera como un -módulo libre global y localmente: es decir,
es un isomorfismo (llamado isomorfismo de Thom), donde el "asterisco" significa cohomología reducida, que restringe a cada isomorfismo
inducido por la trivialización . Con cierto esfuerzo, se puede demostrar que la noción usual de orientación coincide con una orientación Z.
Véase también Integración a lo largo de una fibra Haz de orientación, concepto que se utiliza para formular el isomorfismo de Thom para fibrados no orientados.
Referencias
Bibliografía
J.P. May, A Concise Course in Algebraic Topology. University of Chicago Press, 1999.
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