El flujo de Zeldovich-Taylor, también conocido como Onda de expansión de Zeldovich-Taylor, es el movimiento de los productos gaseosos de la detonación que se produce tras la onda de expansión de Zeldovich-Taylor. El flujo fue descrito de forma independiente p—or Yakov Zeldovich en 1942Zeldovich, Y. B. (1942). Sobre la distribución de la presión y la velocidad en los productos de una explosión por detonación, concretamente en el caso de la propagación esférica de la onda de detonación. Journal Experimental Theoretical Physics, 12(1), 389.Zeldovich, Y. B., y Kompaneets, Alexander Solomonovich (1960). Theory of detonation. Academic Press, Sección 23, pp. 279-284 y por G. I. Taylor en 1950,Taylor, G. I. (1950). La dinámica de los productos de combustión detrás de frentes de detonación planos y esféricos en explosivos. Actas de la Real Sociedad de Londres. Serie A. Ciencias Matemáticas y Físicas, 200(1061), 235-247. aunque G. I. Taylor llevó a cabo el trabajo en 1941, el cual circulaba en el Ministerio de Seguridad Interna británico. Dado que las ondas de detonación que se producen de forma natural son, en general, una onda de detonación en condiciones de Chapman–Jouguet, la solución resulta muy útil para describir las ondas de detonación de la vida real. Descripción matemática Consideremos una onda de detonación de Chapman–Jouguet que se propaga esféricamente hacia el exterior a una velocidad constante . Por definición, inmediatamente detrás de la onda de detonación, la velocidad del gas es igual a la velocidad del sonido local con respecto a la onda. Sea la velocidad radial del gas detrás de la onda, en un sistema de referencia fijo. La detonación se inicia en en . Para , la velocidad del gas debe ser cero en el centro y debe tomar el valor en la ubicación de la detonación . El movimiento del fluido se rige por las ecuaciones de Euler no viscosasSedov, L. I., & Volkovets, A. G. (2018). Métodos de similitud y dimensionales en mecánica. CRC Press.
donde es la densidad, es la presión y es la entropía. La última ecuación implica que el flujo es isentrópico y, por lo tanto, podemos escribir .
Dado que en el problema no intervienen escalas de longitud ni de tiempo, se puede buscar una solución autosimilar de la forma , donde Las dos primeras ecuaciones se convierten entonces en
donde la prima denota la derivada con respecto a . Podemos eliminar entre las dos ecuaciones para obtener una ecuación que contenga solo y . Debido a la condición isentrópica, podemos expresar , es decir, podemos sustituir por . Esto conduce a
Para los gases politrópicos con calores específicos constantes, se tiene . El conjunto de ecuaciones anterior no puede resolverse analíticamente, sino que debe integrarse numéricamente. La solución debe encontrarse para el intervalo , sujeto a la condición en
Se observa que la función disminuye monótonamente desde su valor hasta cero en un valor finito de , donde existe una discontinuidad débil (es decir, una función es continua, pero sus derivadas pueden no serlo). La región entre el frente de detonación y la discontinuidad débil posterior es el flujo de rarefacción (o expansión). En el interior de la discontinuidad débil en todas partes.
Ubicación de la discontinuidad débil (onda de Mach) De la segunda ecuación descrita anteriormente se deduce que cuando , . Más precisamente, a medida que , esa ecuación puede aproximarse comoLandau, L. D., & Lifshitz, E. M. (1987). Mecánica de fluidos. Pergamon. Nueva York, sección 130, pp. 496-499.
A medida que , y si disminuye a medida que . El lado izquierdo de la ecuación anterior solo puede llegar a ser infinito positivo si . Por lo tanto, cuando disminuye hasta el valor , el gas se detiene (aquí es la velocidad del sonido correspondiente a ). Por lo tanto, el movimiento de rarefacción se produce para y no hay movimiento del fluido para .
Comportamiento en las proximidades de la discontinuidad débil Reescribamos la segunda ecuación como
En la vecindad de la discontinuidad débil, las cantidades de primer orden (como ) reducen la ecuación anterior a
En este punto, cabe mencionar que, en general, las perturbaciones en los gases se propagan con respecto al gas a la velocidad local del sonido. En otras palabras, en el sistema de referencia fijo, las perturbaciones se propagan a la velocidad (la otra posibilidad es , aunque aquí no tiene interés). Si el gas está en reposo , entonces la velocidad de la perturbación es . Se trata simplemente de una propagación normal de ondas sonoras. Sin embargo, si es distinto de cero pero una cantidad pequeña, entonces se obtiene la corrección para la velocidad de propagación de la perturbación como , obtenida mediante una expansión en serie de Taylor, donde es la derivada de Landau (para un gas ideal, , donde es la relación de calor específico). Esto significa que la ecuación anterior se puede escribir como
cuya solución es
donde es una constante. Esto determina implícitamente en la vecindad de la discontinuidad débil donde es pequeño. Esta ecuación muestra que en , , , pero todas las derivadas de orden superior son discontinuas. En la ecuación anterior, restamos del lado izquierdo y del lado derecho para obtener
lo que implica que si es una cantidad pequeña. Se puede demostrar que la relación no solo se cumple para valores pequeños de , sino a lo largo de toda la onda de rarefacción.
Comportamiento cerca del frente de detonación En primer lugar, demostraremos que la relación no solo es válida cerca de la discontinuidad débil, sino en toda la región. Si esta desigualdad no se cumple, entonces debe existir un punto en el que entre la discontinuidad débil y el frente de detonación. La segunda ecuación determinante implica que en este punto debe ser infinito o bien . Obtengamos tomando la derivada segunda de la ecuación determinante. En la ecuación resultante, imponemos la condición para obtener . Esto implica que alcanza un máximo en este punto, lo que a su vez implica que no puede existir para mayor que el punto máximo considerado, ya que de lo contrario sería multivalor. El punto máximo, como mucho, puede corresponder al límite exterior (frente de detonación). Esto significa que solo puede desaparecer en el límite y ya se ha demostrado que es positivo cerca de la discontinuidad débil; es positivo en toda la región excepto en los límites, donde puede desaparecer.
Nótese que cerca del frente de detonación, debemos satisfacer la condición . El valor evaluado en para la función , es decir, , no es más que la velocidad del frente de detonación con respecto a la velocidad del gas situado detrás de él. Para un frente de detonación, siempre debe cumplirse la condición , donde el signo de igualdad representa las detonaciones de Chapman-Jouguet y las desigualdades representan las detonaciones sobreimpulsadas. El análisis que describe el punto debe corresponder al frente de detonación.
Véase tmbién Problema de Guderley–Landau–Stanyukovich Onda expansiva de Taylor-von Neumann-Sedov Referencias
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