thumb|El golpe de presión es compresible porque la velocidad característica (en el aire, la velocidad del sonido) detrás del golpe de presión es mayor que la del propio golpe, que a su vez es mayor que la velocidad característica delante del golpe de presión. La velocidad característica es la velocidad a la que se propagan las pequeñas perturbaciones. El problema de Guderley-Landau-Stanyukovich describe la evolución temporal de las ondas de choque convergentes. El problema fue analizado por G. Guderley en 1942Guderley, K. G. (1942). Starke kugelige und zylindrische verdichtungsstosse in der Nähe des Kugelmittelpunktes bzw. der Zylinderachse. Luftfahrtforschung, 19, 302. y, de forma independiente, por Lev Landau y K. P. Stanyukovich en 1944, aunque el análisis de estos últimos autores se publicó en 1955.Stanyukovich, K. P. (2016). Unsteady motion of continuous media. Elsevier.

Descripción matemática Consideremos una onda de choque de convergencia esférica que se inició por algún medio en una ubicación radial y se dirigió hacia el centro. A medida que la onda de choque se desplaza hacia el origen, su intensidad aumenta, ya que la onda de choque comprime una cantidad cada vez menor de masa a medida que se propaga. La ubicación de la onda de choque varía, por tanto, con el tiempo. La solución autosimilar que se va a describir corresponde a la región , es decir, la onda de choque se ha desplazado lo suficiente como para que la condición inicial ya no sea relevante.

Dado que la onda de choque en la región autosimilar es fuerte, la presión detrás de la onda es muy grande en comparación con la presión delante de la onda . Según las condiciones de Rankine-Hugoniot, para ondas fuertes, aunque , , donde representa la densidad del gas; en otras palabras, el salto de densidad a través de la onda de choque es finito. Para el análisis, se puede suponer, por tanto, y , lo que a su vez elimina la escala de velocidad al establecer , ya que .

En este punto, cabe señalar que el problema análogo, en el que se sabe que una onda de choque fuerte que se propaga hacia fuera viene descrita por la onda expansiva de Taylor-von Neumann-Sedov. La descripción de la onda de explosión de Taylor–von Neumann–Sedov utiliza y el contenido de energía total del flujo para desarrollar una solución autosimilar. A diferencia de este problema, la onda de choque implosiva no es autosimilar en toda la región (el campo de flujo cerca de depende de la forma en que se genera la onda de choque) y, por lo tanto, el problema de Guderley–Landau–Stanyukovich intenta describir de manera autosimilar el campo de flujo solo para ; en esta región autosimilar, la energía no es constante y, de hecho, se demostrará que disminuye con el tiempo (la energía total de toda la región sigue siendo constante). Dado que la región autosimilar es pequeña en comparación con el tamaño inicial de la región de la onda de choque, solo una pequeña fracción de la energía total se acumula en la región autosimilar. Por lo tanto, el problema no contiene ninguna escala de longitud que permita utilizar argumentos dimensionales para hallar la descripción autosimilar; es decir, la dependencia de respecto a no puede determinarse únicamente mediante argumentos dimensionales. Los problemas de este tipo se describen mediante la solución autosimilar del segundo tipo.

Por conveniencia, se mide el tiempo de tal manera que la onda de choque convergente alcance el origen en el momento . Para , la onda de choque convergente se aproxima al origen y para , la onda de choque reflejada emerge del origen. Se supone que la ubicación de la onda de choque viene descrita por la función

donde es el índice de similitud y es una constante. El choque reflejado surge con el mismo índice de similitud. El valor de se determina a partir de la condición de que exista una solución autosimilar, mientras que la constante no puede describirse a partir del análisis autosimilar; la constante contiene información de la región y, por lo tanto, solo puede determinarse cuando se resuelve toda la región del flujo. La dimensión de solo se hallará tras resolver . Para la onda de choque de Taylor–von Neumann–Sedov, se pueden utilizar argumentos dimensionales para obtener

La velocidad de la onda de choque viene dada por

Según las condiciones de Rankine-Hugoniot, la velocidad del gas , la presión y la densidad inmediatamente detrás del frente de choque fuerte, para un gas ideal, vienen dadas por

Estas servirán como condiciones de contorno para el flujo detrás del frente de choque.

Solución autosimilar Las ecuaciones que rigen el problema son

donde es la densidad, es la presión, es la entropía y es la velocidad radial. En lugar de la presión , podemos utilizar la velocidad del sonido mediante la relación .

Para obtener las ecuaciones autosimilares, introducimosLandau, L. D., & Lifshitz, E. M. (2000). Mecánica de fluidos (Curso de Física Teórica, volumen 6). Reed Educational and Professional Publishing Ltd,.Zeldovich, Y. B., Raizer, Y. P., Hayes, W. D., & Probstein, R. F. (1967). Física de las ondas de choque y fenómenos hidrodinámicos a alta temperatura. Vol. 2 (pp. 685-784). Nueva York: Academic Press.Sedov, L. I., & Volkovets, A. G. (2018). Métodos de similitud y dimensionales en mecánica. CRC Press.

Obsérvese que, dado que tanto como son negativos, . Formalmente, la solución debe buscarse para el intervalo . Las condiciones al contorno en vienen dadas por

Las condiciones al contorno en pueden derivarse de la observación en el momento del colapso , en el que se vuelve infinito. En el momento del colapso, las variables de flujo a cualquier distancia del origen deben ser finitas, es decir, y deben ser finitas para . Esto solo es posible si

La sustitución de las variables autosimilares en las ecuaciones determinantes conduce a

A partir de aquí, podemos resolver fácilmente y (o, ) para obtener dos ecuaciones. Como tercera ecuación, podríamos eliminar la variable de dos de las ecuaciones. Las ecuaciones resultantes son

donde y . Véase que, una vez resuelta la tercera ecuación para , las dos primeras ecuaciones pueden integrarse mediante cuadraturas simples.

La tercera ecuación es una ecuación diferencial de primer orden para la función con la condición de contorno relativa a la condición detrás del frente de choque. Pero hay otra condición de contorno que debe satisfacerse, es decir, , relativa a la condición que se da en . Esta condición adicional no puede satisfacerse para cualquier valor arbitrario de , sino que solo existe un valor de para el que se puede cumplir la segunda condición. Así, se obtiene como valor propio. Este valor propio puede obtenerse numéricamente.

La condición que determina puede explicarse trazando la curva integral tal y como se muestra en la figura como una curva continua. El punto es la condición inicial de la ecuación diferencial, es decir, . La curva integral debe terminar en el punto . En la misma figura, la parábola correspondiente a la condición también se representa como una curva punteada. Se puede demostrar fácilmente que el punto siempre se encuentra por encima de esta parábola. Esto significa que la curva integral debe intersecar la parábola para llegar al punto . En las tres ecuaciones diferenciales, aparece la relación , lo que implica que esta relación se anula en el punto , donde la curva integral interseca la parábola. El requisito físico para las funciones y es que deben ser funciones univálidas de para obtener una solución única. Esto significa que las funciones y no pueden tener extremos en ningún punto dentro del dominio. Pero en el punto , puede desaparecer, lo que indica que las funciones mencionadas tienen extremos. La única forma de evitar esta situación es hacer que la relación en sea finita. Es decir, a medida que tiende a cero, exigimos que también sea cero, de tal manera que se obtenga . En ,

Las integraciones numéricas de la tercera ecuación proporcionan para y para . Estos valores para pueden compararse con una fórmula aproximada , derivada por Landau y Stanyukovich. Se puede establecer que, a medida que , . En general, el índice de similitud es un número irracional.

Véase también Onda expansiva de Taylor-von Neumann-Sedov Flujo de Zeldovich–Taylor

Referencias

Categoría:Regímenes de flujo Categoría:Dinámica de fluidos Categoría:Combustión Categoría:Lev Landáu