En geometría, la conjetura de Hugo Hadwiger postula que todo símplex puede ser diseccionado en ortoesquemas utilizando un número limitado de estas figuras, en función de la dimensión del simplex. Si esto es cierto, entonces, de forma más general, todo politopo convexo podría diseccionarse en ortoesquemas. El problema de la disección en ortoesquemas de un simplex genérico de dimensión n seguía sin resolverse en 2026. Definiciones y enunciado
En este contexto, un símplex en el espacio euclídeo -dimensional es la envolvente convexa de un conjunto de puntos que no se encuentran todos en un hiperplano común. Por ejemplo, un símplex bidimensional es simplemente un triángulo (la envolvente convexa de tres puntos en el plano) y un símplex tridimensional es un tetraedro (la envolvente convexa de cuatro puntos en el espacio tridimensional). Los puntos que forman el símplex de esta manera se denominan sus vértices.
Un ortoesquema, también llamado símplex de camino, es un tipo especial de símplex. En este caso, los vértices se pueden conectar mediante un camino, de modo que cada dos aristas del camino formen un ángulo recto entre sí. Un ortoesquema bidimensional es un triángulo rectángulo. Un ortoesquema tridimensional se puede construir a partir de un cubo, encontrando un camino de tres aristas del cubo que no se encuentren todas sobre la misma cara cuadrada, y formando la envolvente convexa de los cuatro vértices de este camino.
Una disección de una figura (que puede ser cualquier conjunto cerrado en el espacio euclídeo) es una representación de como la unión de otras figuras cuyos interiores son disjuntos entre sí. Es decir, intuitivamente, las figuras en la unión no se superponen, aunque pueden compartir puntos en sus límites. Por ejemplo, un cubo se puede diseccionar en seis ortoesquemas tridimensionales. Un resultado similar se aplica de forma más general: todo hipercubo o hiperrectángulo en dimensiones se puede diseccionar en ortoesquemas.
La conjetura de Hadwiger postula que existe una función tal que todo símplex de dimensión puede descomponerse en a lo sumo ortoesquemas. Hadwiger planteó este problema en 1956; y permanece sin resolver en general, aunque se conocen casos especiales para valores pequeños de .
En dimensiones pequeñas
En dos dimensiones, todo triángulo puede descomponerse en a lo sumo dos triángulos rectángulos, trazando una altura desde su ángulo más amplio hasta su arista más larga.
En tres dimensiones, algunos tetraedros pueden descomponerse de forma similar, trazando una altura perpendicular desde un vértice hasta un punto en una cara opuesta, conectando perpendicularmente a los lados de la cara y utilizando los caminos perpendiculares de tres aristas que pasan por y hasta una arista y luego hasta un vértice de la cara. Sin embargo, esto no siempre funciona. En particular, existen tetraedros cuyos vértices no tienen alturas con un pie dentro de la cara opuesta.
Mediante una construcción más compleja, demostró que todo tetraedro puede dividirse en un máximo de 12 ortoesquemas. demostró que este valor es óptimo: existen tetraedros que no pueden dividirse en menos de 12 ortoesquemas. En el mismo artículo, Böhm también generalizó el resultado de Lenhard a la geometría esférica y a la geometría hiperbólica tridimensionales.
En cuatro dimensiones, se necesitan como máximo 500 ortoesquemas. En cinco dimensiones, se necesita nuevamente un número finito de ortoesquemas, aproximadamente acotado a un máximo de 12,5 millones. Esto se aplica tanto a la geometría esférica e hiperbólica como a la euclídea.
La conjetura de Hadwiger permanece sin demostrar para todas las dimensiones mayores que cinco.
Consecuencias Todo politopo convexo puede dividirse en símplices. Por lo tanto, si la conjetura de Hadwiger es cierta, todo politopo convexo también tendría una división en ortoesquemas.
Un resultado relacionado es que todo ortoesquema puede dividirse en o ortoesquemas más pequeños. Por lo tanto, para los símplices que pueden dividirse en ortoesquemas, sus divisiones pueden tener un número arbitrariamente grande de ortoesquemas.
Referencias . See in particular Conjecture 23, p. 327.
Categoría:Conjeturas matemáticas Categoría:Problemas no resueltos de geometría Categoría:Disección geométrica Categoría:Geometría multidimensional