En matemáticas, dentro del ámbito del análisis complejo, el teorema de Carlson es un teorema de unicidad descubierto por Fritz David Carlson. De manera informal, establece que dos funciones analíticas diferentes que no crecen muy rápido en el infinito no pueden coincidir en los números enteros. El teorema puede obtenerse a partir del teorema de Phragmén-Lindelöf, que a su vez es una extensión del Principio del módulo máximo.
El teorema de Carlson se suele invocar para defender la unicidad de una expansión en serie de Newton. El teorema de Carlson tiene análogos generalizados para otras expansiones.
Enunciado
Supongamos que satisface las tres condiciones siguientes. Las dos primeras condiciones limitan el crecimiento de en el infinito, mientras que la tercera establece que se anula en los enteros no negativos.
es una función entera de tipo exponencial, lo que significa que para algunos valores reales , . Existe tal que para todo entero no negativo .
Entonces es identicamente cero.
Precisión
Primera condición
La primera condición puede relajarse: basta con suponer que es analítica en , continua en , y que satisfaga para algunos valores reales , .
Segunda condición
Para ver que la segunda condición es estricta, consideremos la función . Esta función se anula en los números enteros; sin embargo, crece exponencialmente en el eje imaginario con una tasa de crecimiento de , y de hecho no es identicamente cero.
Tercera condición Un resultado de relaja la condición de que se anule en los números enteros. Concretamente, Rubel demostró que la conclusión del teorema sigue siendo válida si se anula en un subconjunto de densidad superior 1, lo que significa que
Esta condición es estricta, lo que significa que el teorema no se cumple para conjuntos de densidad superior menor que 1.
Aplicaciones Supongamos que es una función que posee todas las diferencias finitas . Consideremos entonces la serie de Newtondonde es el coeficiente binomial y es la -ésima diferencia hacia adelante. Por definición, se tiene entonces que para todos los enteros no negativos , de modo que la diferencia . Esta es una de las condiciones del teorema de Carlson; si cumple las demás, entonces es identicamente cero, y las diferencias finitas de determinan de forma única su serie de Newton. Es decir, si existe una serie de Newton para y la diferencia satisface las condiciones de Carlson, entonces es única.
Véase también Serie de Newton Teorema de Mahler Tabla de series newtonianas
Referencias F. Carlson, “'Sur une classe de séries de Taylor”', (1914) Tesis doctoral, Uppsala, Suecia, 1914. , cor 21 (1921) p. 6.
E.C. Titchmarsh, The Theory of Functions (2.ª ed.) (1939) Oxford University Press “”(Véase la sección 5.81)“” R. P. Boas, Jr., Entire functions, (1954) Academic Press, Nueva York.
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