En el cálculo de diferencias finitas, el operador de la suma indefinida, también conocido como operador de antidiferencial, denotado por o , es el operador lineal que es la inversa del operador de diferencia|operador de diferencia directa, :
Se relaciona con el operador de diferencia directa de la misma manera que la integral indefinida se relaciona con la derivada. Del mismo modo que la integral indefinida resuelve la familia de funciones que se derivan en , la suma indefinida resuelve qué familia de funciones tiene como su diferencia directa.
Si , entonces satisface la ecuación funcional
La aplicación del operador de diferencia hacia adelante a una suma indefinida devuelve la función original:
En la notación , la variable desempeña el mismo papel que la variable índice en una suma discreta; indica el argumento en el que se debe evaluar la antidiferencia. El subíndice actúa como un marcador de posición, análogo al en , y especifica que la antidiferencia es una función de .
La solución no es única: si es una solución, entonces para cualquier función 1-periódica (es decir, ), la función también es una solución. Por lo tanto, una suma indefinida es única hasta una función periódica de 1 período en lugar de hasta una constante como lo es la integral indefinida.
Para obtener la solución única hasta una constante , hay que imponer restricciones adicionales. La «solución principal de Nørlund» es la solución analítica única que tiene el tipo exponencial mínimo posible, filtrando cualquier componente periódica no constante.
Convenciones de diferencia hacia adelante y hacia atrás 314x314px|miniatura|Comparación entre los operadores de suma indefinida y sus equivalentes discretos. La diferencia inversa hacia atrás de x se muestra en amarillo, y la diferencia inversa hacia adelante de x se muestra en azul (ambas con respecto a x).
El operador de diferencia inversa hacia adelante, , extiende la suma hasta , comenzando normalmente con el iterador en :
Algunos autores extienden analíticamente la suma para la que el límite superior es el argumento sin desplazamiento, comenzando normalmente el iterador en :
En este caso, la continuación analítica, , de la suma es una solución de . Dicho explícitamente, es decir:
Lo cual se deduce de su equivalente discreto:
Algunos autores utilizan la forma equivalente denominada «ecuación telescópica»:Algorithms for Nonlinear Higher Order Difference Equations, Manuel Kauers
Los límites inferiores del análogo discreto tanto para la diferencia inversa hacia adelante como para la diferencia inversa hacia atrás pueden ser una constante arbitraria distinta de las enumeradas aquí, ya que se absorben en la altura del término 1-periódico o constante . Teorema fundamental del cálculo de diferencias finitas
Las sumas indefinidas pueden utilizarse para calcular sumas definidas mediante la fórmula:«Handbook of discrete and combinatorial mathematics», Kenneth H. Rosen, John G. Michaels, CRC Press, 1999,
Alternativamente, utilizando el operador de diferencia inversa hacia atrás, la relación es:
Ejemplos
Las siguientes sumas indefinidas básicas se derivan de las propiedades fundamentales del operador de la diferencia, donde representa una función arbitraria de periodo 1 (o una constante si se supone la solución principal de Nørlund):
Constante:
Exponencial:
Logaritmo:
Factorial descendente
El factorial descendente proporciona el análogo discreto de la regla de la potencia del cálculo diferencial. En el cálculo infinitesimal, . En el cálculo de diferencias finitas, el factorial descendente
desempeña el papel de , y el operador de diferencia hacia adelante satisface
La suma indefinida de un factorial decreciente viene dada por el análogo discreto de la regla de la potencia para la integración:
Equivalentemente, utilizando la función gamma:
Para el caso en el que , la solución es la función digamma con un desplazamiento, , que amplía naturalmente los números armónicos.
Ejemplo: Suma de los primeros cuadrados. Utilizando y la fórmula de suma indefinida anterior,
Aplicando el teorema fundamental del cálculo de diferencias finitas,
Desarrollando los factores decrecientes,
y simplificando se obtiene la fórmula
Suma por partes
La suma por partes indefinida es el análogo discreto de la integración por partes. Se deriva de la regla del producto para el operador de diferencia hacia adelante.
Regla del producto. Para dos funciones y , la regla del producto para la diferencia hacia adelante es:
Introduciendo el “”'operador de desplazamiento'“” , definido por , esto se puede escribir de forma más compacta como:
Suma por partes. Reorganizando la regla del producto se obtiene:
Tomando la suma indefinida de ambos lados y utilizando el hecho de que (donde es una función arbitraria de periodo 1), se obtiene la fórmula de la suma por partes:
Una forma simétrica, obtenida también a partir de la regla del producto, es:
Suma definida por partes. Para sumas definidas desde hasta , la fórmula se convierte en:
Ejemplo: producto de un polinomio y una exponencial
La suma por partes es eficaz para funciones como . Para hallar la suma indefinida , sea y . Entonces:
Aplicando la fórmula de la suma por partes:
La suma restante es elemental:
Por lo tanto, la suma indefinida (antidiferencia) es
Para calcular la suma definida desde hasta , utilizamos el teorema fundamental con la inversa de la diferencia directa:
Sustituyendo la expresión de :
Por lo tanto, para cualquier entero no negativo ,
Singularidad de la solución principal miniatura|Visualización de la propiedad ΔC(x)=0 para una función C(x) de periodo 1. Dado que C(x+1)=C(x), tanto la diferencia hacia adelante C(x+1)-C(x) como la diferencia hacia atrás C(x)-C(x-1) son nulas. La ecuación funcional no tiene una solución única. Si es una solución particular, entonces para cualquier función que satisfaga (es decir, cualquier función 1-periódica), la función también es una solución. Por lo tanto, el operador de suma indefinida define una familia de funciones que difieren en un componente arbitrario de periodo 1, .
Para seleccionar la solución principal única (en alemán: Hauptlösung) hasta una constante aditiva (en lugar de hasta la función aditiva 1-periódica ) es necesario imponer restricciones adicionales. Análisis complejo (tipo exponencial) Siguiendo la teoría desarrollada por Niels Erik Nørlund, la suma indefinida puede determinarse de forma única para funciones analíticas imponiendo restricciones a su crecimiento en el plano complejo. Concretamente, al imponer un crecimiento mínimo, se pueden filtrar los términos periódicos no constantes.
Supongamos que es analítica en una franja vertical que contiene el eje real, y sea una solución analítica de en dicha franja. Para garantizar la unicidad, se requiere que tenga un crecimiento mínimo, concretamente que sea de tipo exponencial menor que en la dirección imaginaria. Es decir, existen constantes y tales que cuando .
Sea y dos soluciones analíticas que satisfacen esta condición de crecimiento. Su diferencia es entonces analítica, 1-periódica (es decir, ), y hereda el mismo tipo exponencial menor que .
Nørlund utiliza un resultado fundamental del análisis complejo (relacionado con el teorema de Carlson, el principio de Phragmén–Lindelöf y el teorema de Paley–Wiener) que establece que una función entera periódica no constante debe tener tipo exponencial al menos . Esto se deduce de su expansión en serie de Fourier: si es no constante, su serie de Fourier contiene un término con , que tiene tipo . Dado que tiene un tipo estrictamente menor que , no puede contener ningún término de este tipo y, por lo tanto, debe ser constante.
El tipo exponencial menor que en la dirección imaginaria en la condición es suficiente pero no estrictamente necesario. La definición general de Nørlund de la solución principal es la solución analítica que tiene el tipo exponencial mínimo posible para la dada. Si tiene tipo exponencial en la dirección imaginaria, entonces la solución principal también tendrá tipo en esa franja, siempre que converja. Por ejemplo, tiene tipo exponencial ; su solución principal existe y tiene tipo , aunque .
Cuando tiene tipo exponencial exactamente para algún entero distinto de cero en cada franja donde es analítica (p. ej., tiene tipo ; su antidiferencia contiene en el denominador), la solución principal no existe (o es indefinida en todas partes) porque resuena con el núcleo del operador de la diferencia. En todos los demás casos (es decir, cuando es meromórfica y su tipo exponencial en alguna franja vertical no es un múltiplo entero de ) la solución principal existe y está determinada de forma única por el tipo exponencial mínimo.
Análisis real (convexidad de orden superior) En análisis real, la condición de unicidad puede expresarse mediante la convexidad de orden superior, generalizando el teorema de Bohr-Mollerup. Para un entero , una función se denomina -convexa si sus diferencias divididas de orden son no negativas, y -cóncava si esas diferencias divididas son no positivas. Una función se denomina eventualmente -convexa (resp. -cóncava) si existe tal que es -convexa (resp. -cóncava) en el intervalo .
Marichal y Zenaïdi demostraron el siguiente teorema de unicidad, cuyo método requiere que la solución sea -convexa o -cóncava.
Teorema: Sea un número entero y sea tal que . Si es una solución eventualmente -convexa o -cóncava de , entonces está determinada de forma única hasta una constante aditiva. Además, para cualquier ,
y la convergencia es uniforme en subconjuntos acotados de . Método axiomático de Müller-Schleicher En su artículo «How to Add a Noninteger Number of Terms»,Markus Müller y Dierk Schleicher, How to Add a Noninteger Number of Terms: De los axiomas a nuevas identidades, Amer. Math. Mon. 118(2), 136-152 (2011). Müller y Schleicher introdujeron un enfoque axiomático de la suma fraccionaria con un número real o complejo de términos. Su método extiende la suma discreta clásica
a límites superiores no enteros y complejos . La definición se basa en seis axiomas naturales:
Suma continuada: . Invarianza por traslación: . Linealidad: . Condición de suma vacía: (equivalente a la condición de suma vacía). Holomorfismo para monomios: para cada , es holomórfica en . Continuidad por desplazamiento a la derecha: si punto por punto cuando , entonces ; más en general, si puede aproximarse mediante polinomios de grado fijo con , entonces: .
Los axiomas S1–S4 obligan a que la suma se alinee con la suma finita ordinaria cuando los límites son números enteros. El axioma S5 obliga a los monomios a comportarse de la misma manera bajo la generalización de las sumas fraccionarias. El axioma S6 es el axioma crucial que permite «retroceder» en la región asintótica para determinar la suma fraccionaria en un intervalo finito. Las condiciones exactas para que el método funcione son, tal y como se establece en la Definición 1.2 del artículo:
Sea y . Una función se denominará «summable fraccionaria de grado» si se cumplen las siguientes condiciones: para todo existe una secuencia de polinomios de grado fijo tal que para todo cuando para todo el límite
existe.
En el caso más simple, cuando al (es decir, los polinomios de aproximación son cero), esto se reduce a:
Simetría de la solución principal Como consecuencia directa de la unicidad, si es una función meromórfica, se puede definir una solución analítica única de la suma de diferencias hacia atrás, imponiendo las siguientes condiciones: Ecuación diferencial: Normalización: (condición de contorno de suma vacía). Restricción de crecimiento: tiene el tipo exponencial mínimo posible en la dirección imaginaria. Bajo estas condiciones, satisface una fórmula de reflexión (denominada por Nørlund como Ergänzungssatz, un teorema complementario a la unicidad de la solución principal [Hauptlösung], presentándola como donde es el intervalo).