En teoría de números, el n-ésimo periodo de Pisano, escrito como (n), es el período con el que se repite la sucesión de números de Fibonacci de módulo n. Los períodos de Pisano reciben su nombre de Leonardo Pisano, más conocido como Leonardo de Pisa. La existencia de funciones periódicas en los números de Fibonacci fue observada por Joseph-Louis Lagrange en 1774.On Arithmetical functions related to the Fibonacci numbers. Acta Arithmetica XVI (1969). Retrieved 22 September 2011.
Definición Los números de Fibonacci pertenecen a la sucesión entera:
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946, 17711, 28657, 46368, ...
definidos por la relación de recurrencia:
Para cualquier conjunto de números enteros n, la secuencia de números de Fibonacci Fi expresada según el módulo n es periódica. El periodo de Pisano, denotado (n), es la longitud del periodo de esta secuencia. Por ejemplo, la secuencia de números de Fibonacci módulo 3 comienza así:
0, 1, 1, 2, 0, 2, 2, 1, 0, 1, 1, 2, 0, 2, 2, 1, 0, 1, 1, 2, 0, 2, 2, 1, 0, ...
Esta secuencia tiene un periodo de 8, por lo que (3) = 8.
Propiedades Paridad Con la excepción de (2) = 3, el período de Pisano (n) es siempre par.
Esto se deduce al observar que (n) es igual al orden de la matriz de Fibonacci
en el grupo lineal general de matrices invertibles de orden 2 por 2 en el anillo finito de enteros módulo n. Dado que Q tiene determinante -1, el determinante de Q(n) es (-1)(n), que es igual a 1 cuando n = 2 o cuando (n) es par.A Theorem on Modular Fibonacci Periodicity. Theorem of the Day (2015). Retrieved 7 January 2016.
Periodos de Pisano de números compuestos Si m y n son números coprimos, entonces (mn) es el mínimo común múltiplo de (m) y (n). Esto se deduce del teorema chino del resto.
Así, los periodos de Pisano de los números compuestos se pueden calcular observando los periodos de Pisano de sus potencias primas, donde q = pk, para k ≥ 1.
Si p es primo, (pk) divide a pk–1 (p). Se desconoce si
para todo primo p y entero k > 1.
Cualquier primo p que proporcione un contraejemplo sería necesariamente un número primo de Wall-Sun-Sun, y a la inversa, todo primo p de Wall-Sun-Sun da un contraejemplo (establecer k = 2).
Para p = 2 y 5, se conocen los valores exactos de los periodos de Pisano. Los periodos de las potencias de estos números primos son los siguientes:
Si n = 2k, entonces Si n = 5k, entonces
De esto se deduce que si n = 2·5k, entonces (n) = 6n.
Periodos de Pisano de los números primos
Si el primo p es distinto de 2 y de 5, entonces (p) es un divisor de p2 - 1. Esto se deduce del análogo módulo p de la fórmula de Binet, lo que implica que (p) es el orden multiplicativo de una raíz de módulo p.
Todo p distinto de 2 y de 5 pertenece a las clases de residuos o .
Si , entonces (p) divide a p - 1. Si , entonces (p) divide a 2p + 1.
Lo anterior se puede demostrar observando que si , entonces las raíces de módulo p pertenecen a (por la ley de reciprocidad cuadrática). Así, su orden, (p), es un divisor de p - 1.
Para demostrar esto último, si las raíces módulo p de no pertenecen a (de nuevo por reciprocidad cuadrática), y pertenecen al cuerpo finito . Como el endomorfismo de Frobenius intercambia estas raíces, se deduce que, denotándolas por r y s, se tiene que r p = s, y por lo tanto r p+1 = -1. Es decir, r 2(p+1) = 1, y el período de Pisano, que es el orden de r, es el cociente de 2(p + 1) por un divisor impar.
De los resultados anteriores se deduce que si n = pk es una potencia prima impar tal que (n) > n, entonces (n)/4 es un entero menor o igual que n. La propiedad multiplicativa de los periodos de Pisano implica, por lo tanto, que:
(n) ≤ 6n, con igualdad si y solo si n = 2·5r, para r ≥ 1.
Si n no es de la forma 2·5r, entonces (n) ≤ 4n.
Tablas Los primeros doce periodos de Pisano y sus ciclos (con espacios antes de los ceros para facilitar la lectura) sonGráfico de los ciclos módulo 1 a 24. Cada fila de la imagen representa una base de módulo diferente n, desde 1 en la parte inferior hasta 24 en la superior. Las columnas representan los números de Fibonacci módulo n, desde F(0) mod n a la izquierda hasta F(59) mod n a la derecha. En cada celda, el brillo indica el valor del residuo, desde oscuro para 0 hasta casi blanco para n−1. Los cuadrados azules de la izquierda representan el primer período; el número de cuadrados azules es el número de Pisano. (usando las letras X y E para representar las cifras diez y once, respectivamente):
nπ(n)Número de ceros en el ciclo Ciclo Sucesión OEIS del ciclo11102310113820112 0221461011231520401123 03314 04432 022416242011235213415 055431453251716201123516 066542618122011235 0552719242011235843718 08876415628110604011235831459437 077415617853819 099875279651673 0336954932572911110101123582X112242011235819X75 055X314592E1
Los primeros 144 periodos de Pisano se muestran en la siguiente tabla:
π(n)+1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+120+1386202416122460102412+28484024362418601630482424+1008472481412030484036802436+761856604048883012048322448+112300728410872204872425812060+603048961401201363648240702472+1482282001880168781202161201684884+18026456604412011248120961804896+196336120300507220884801087272108+1086015248767224042168174144120120+1106040305004825619288420130120132+1444083603627648462403221014024
Periodos de Pisano de los números de Fibonacci
Si n = F(2k) (k ≥ 2), entonces p(n) = 4k; si n = F(2k+ 1) (k ≥ 2), entonces p(n) = 8k+ 4. Es decir, si la base del módulo es un número de Fibonacci (≥ 3) con índice par, el período es el doble del índice y el ciclo tiene dos ceros. Si la base es un número de Fibonacci (≥ 5) con índice impar, el período es cuatro veces el índice y el ciclo tiene cuatro ceros.
kF(k)π(F(k))Primera mitad del ciclo (para k par ≥ 4) o primer cuarto del ciclo (para k impar ≥ 4) o todo el ciclo (para k ≤ 3)(con segundas mitades o segundos cuartos seleccionados)111021103230, 1, 14380, 1, 1, 2, (0, 2, 2, 1)55200, 1, 1, 2, 3, (0, 3, 3, 1, 4)68120, 1, 1, 2, 3, 5, (0, 5, 5, 2, 7, 1)713280, 1, 1, 2, 3, 5, 8, (0, 8, 8, 3, 11, 1, 12)821160, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, (0, 13, 13, 5, 18, 2, 20, 1)934360, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, (0, 21, 21, 8, 29, 3, 32, 1, 33)1055200, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, (0, 34, 34, 13, 47, 5, 52, 2, 54, 1)1189440, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, (0, 55, 55, 21, 76, 8, 84, 3, 87, 1, 88)12144240, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, (0, 89, 89, 34, 123, 13, 136, 5, 141, 2, 143, 1)13233520, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 14414377280, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 23315610600, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 37716987320, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610171597680, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987182584360, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597194181760, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584206765400, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 41812110946840, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 67652217711440, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 109462328657920, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946, 177112446368480, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946, 17711, 28657
Períodos de Pisano de los números de Lucas Si n = L(2k) (k ≥ 1), entonces p(n) = 8k; si n = L(2k+1) (k ≥ 1), entonces p(n) = 4k + 2. Es decir, si la base del módulo es un número de Lucas (≥ 3) con índice par, el período es cuatro veces el índice. Si la base es un número de Lucas (≥ 4) con índice impar, el período es el doble del índice.
kL(k)π(L(k))Primera mitad del ciclo (para k impar ≥ 2) o primer cuarto del ciclo (para k par ≥ 2) o todo el ciclo (para k= 1)(con segundas mitades o segundos cuartos seleccionados)11102380, 1, (1, 2)3460, 1, 1, (2, 3, 1)47160, 1, 1, 2, (3, 5, 1, 6)511100, 1, 1, 2, 3, (5, 8, 2, 10, 1)618240, 1, 1, 2, 3, 5, (8, 13, 3, 16, 1, 17)729140, 1, 1, 2, 3, 5, 8, (13, 21, 5, 26, 2, 28, 1)847320, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, (21, 34, 8, 42, 3, 45, 1, 46)976180, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, (34, 55, 13, 68, 5, 73, 2, 75, 1)10123400, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, (55, 89, 21, 110, 8, 118, 3, 121, 1, 122)11199220, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, (89, 144, 34, 178, 13, 191, 5, 196, 2, 198, 1)12322480, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, (144, 233, 55, 288, 21, 309, 8, 317, 3, 320, 1, 321)13521260, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 14414843560, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233151364300, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377162207640, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610173571340, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987185778720, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597199349380, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 25842015127800, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 41812124476420, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 67652239603880, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 109462364079460, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946, 1771124103682960, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946, 17711, 28657
Para un valor par de k, el ciclo tiene dos ceros. Para un valor impar de k, el ciclo tiene solo un cero, y la segunda mitad del ciclo, que por supuesto es igual a la parte a la izquierda de 0, consiste en números alternados F(2m+1) y n-F(2m), con m decreciente.
Número de ceros en el ciclo
El número de apariciones de 0 por ciclo es 1, 2 o 4. Sea p el número que sigue al primer 0 después de la combinación 0, 1. Sea q la distancia entre los ceros.
Obviamente, hay un 0 en un ciclo si p = 1. Esto solo es posible si q es par o si n es 1 o 2. En caso contrario, hay dos 0 en un ciclo si p = 2 = 1. Esto solo es posible si q es par. En caso contrario, hay cuatro 0 en un ciclo. Esto ocurre si q es impar y n no es 1 ni 2.
Para las secuencias de Fibonacci generalizadas (que satisfacen la misma relación de recurrencia, pero con otros valores iniciales, como los números de Lucas), el número de ocurrencias de 0 por ciclo es 0, 1, 2 o 4.
La razón entre el período de Pisano de n y el número de ceros módulo n en el ciclo da el rango de aparición o punto de entrada de Fibonacci de n. Es decir, el índice k más pequeño tal que n divide a F(k). Estos son:
1, 3, 4, 6, 5, 12, 8, 6, 12, 15, 10, 12, 7, 24, 20, 12, 9, 12, 18, 30, 8, 30, 24, 12, 25, 21, 36, 24, 14, 60, 30, 24, 20, 9, 40, 12, 19, 18, 28, 30, 20, 24, 44, 30, 60, 24, 16, 12, ...
En el artículo de Renault, el número de ceros se denomina "orden" de F mod m, denotado , y el "rango de aparición" se denomina simplemente "rango" y se denota por .
Según la conjetura de Wall, . Si tiene factorización de enteros , entonces .
Generalizaciones Los períodos de Pisano de los números de Lucas son: 1, 3, 8, 6, 4, 24, 16, 12, 24, 12, 10, 24, 28, 48, 8, 24, 36, 24, 18, 12, 16, 30, 48, 24, 20, 84, 72, 48, 14, 24, 30, 48, 40, 36, 16, 24, 76, 18, 56, 12, 40, 48, 88, 30, 24, 48, 32, ...
Los períodos de Pisano de los números de Pell (o números de Fibonacci de orden 2) son: 1, 2, 8, 4, 12, 8, 6, 8, 24, 12, 24, 8, 28, 6, 24, 16, 16, 24, 40, 12, 24, 24, 22, 8, 60, 28, 72, 12, 20, 24, 30, 32, 24, 16, 12, 24, 76, 40, 56, 24, 10, 24, 88, 24, 24, 22, 46, 16, ...
Los períodos de Pisano de los números de Fibonacci de orden 3 son: 1, 3, 2, 6, 12, 6, 16, 12, 6, 12, 8, 6, 52, 48, 12, 24, 16, 6, 40, 12, 16, 24, 22, 12, 60, 156, 18, 48, 28, 12, 64, 48, 8, 48, 48, 6, 76, 120, 52, 12, 28, 48, 42, 24, 12, 66, 96, 24, ...