La teoría acústica es un campo científico relacionado con la descripción de las ondas sonoras. Se deriva de la dinámica de fluidos. Véase acústica para conocer el enfoque de la ingeniería.

Para ondas sonoras de cualquier magnitud de perturbación en velocidad, presión y densidad, tenemos

En el caso de que las fluctuaciones en la velocidad, la densidad y la presión sean pequeñas, podemos aproximarlas como

donde es la velocidad perturbada del fluido, es la presión del fluido en reposo, es la presión perturbada del sistema en función del espacio y el tiempo, es la densidad del fluido en reposo, y es la variación de la densidad del fluido en el espacio y el tiempo.

En el caso de que la velocidad sea irrotacional (), se obtiene la ecuación de onda acústica que describe el sistema:

de donde se obtiene

Derivación para un medio en reposo Partiendo de la ecuación de continuidad y la ecuación de Euler:

Si consideramos pequeñas perturbaciones de una presión y una densidad constantes:

Entonces, las ecuaciones del sistema son

Teniendo en cuenta que las presiones y densidades de equilibrio son constantes, esto se simplifica a

Un medio en movimiento Empezando por

Podemos hacer que estas ecuaciones se apliquen a un medio en movimiento estableciendo que donde es la velocidad constante a la que se desplaza todo el fluido antes de que se produzca la perturbación (equivalente a un observador en movimiento) y es la velocidad del fluido.

En este caso, las ecuaciones son muy similares:

Ten en cuenta que al establecer se obtienen las ecuaciones en reposo. Ondas linealizadas Partiendo de las ecuaciones de movimiento anteriores para un medio en reposo:

Supongamos ahora que sean todas cantidades pequeñas.

Si nos limitamos a los términos de primer orden, en la ecuación de continuidad, el término tiende a 0. Lo mismo ocurre con el producto de la perturbación de la densidad por la derivada temporal de la velocidad. Además, los componentes espaciales de la derivada material tienden a 0. Por lo tanto, tras reorganizar la densidad de equilibrio, tenemos:

A continuación, dado que nuestra onda sonora se propaga en un fluido ideal, el movimiento es adiabático, por lo que podemos relacionar la pequeña variación de la presión con la pequeña variación de la densidad mediante

En estas condiciones, se ve que ahora tenemos

Definiendo la velocidad del sonido en el sistema:

Todo se convierte en

Para fluidos irrotacionales En el caso de que el fluido sea irrotacional, es decir,

La segunda ecuación nos dice que

Y la aplicación de esta ecuación a la ecuación de continuidad nos indica que

Esto se simplifica a

Por lo tanto, el potencial de velocidad obedece a la ecuación de onda en el límite de pequeñas perturbaciones. Las condiciones al contorno necesarias para resolver el potencial se derivan del hecho de que la velocidad del fluido debe ser 0 en dirección normal a las superficies fijas del sistema.

Derivando esta ecuación de onda con respecto al tiempo y multiplicando ambos lados por la densidad en estado de equilibrio, y luego utilizando el hecho de que nos dice que

De forma similar vemos que . Así, si multiplicamos la ecuación anterior como corresponde, se verá que

Por lo tanto, tanto el potencial de velocidad como la presión y la densidad obedecen a la ecuación de onda. Además, basta con resolver una sola de estas ecuaciones para determinar las otras tres. En concreto, tenemos

En un medio en movimiento De nuevo, podemos deducir el límite de pequeñas perturbaciones para las ondas sonoras en un medio en movimiento. Una vez más, partiendo de

Podemos linealizarlas de la siguiente manera:

Para fluidos irrotacionales en un medio en movimiento Véase que

Si partimos de los supuestos anteriores de que el fluido es ideal y la velocidad es irrotacional, entonces tenemos

Bajo estos supuestos, nuestras ecuaciones de sonido linealizadas quedan así:

Es importante destacar que, dado que es una constante, tenemos que y entonces la segunda ecuación nos dice que

O simplemente que

Ahora bien, si aplicamos esta relación junto con el hecho de que , tras eliminar y reorganizar los términos, obtenemos

Podemos escribir esto en una forma más familiar como

Esta ecuación diferencial debe resolverse con las condiciones de contorno adecuadas. Obsérvese que al establecer nos da la ecuación de onda. En cualquier caso, al resolver esta ecuación para un medio en movimiento, obtenemos entonces

Véase también Atenuación acústica Sonido Análisis de Fourier Referenciaas

Categoría:Dinámica de fluidos Categoría:Acústica Categoría:Sonido