En teoría de la probabilidad, un sistema de partículas en interacción (IPS) es un proceso estocástico en algún espacio de configuración dado por un espacio de sitio, un grafo de orden infinito contable y un espacio de estado local, un compacto espacio métrico . Más precisamente, los IPS son procesos de salto de Markov en tiempo continuo que describen el comportamiento colectivo de componentes que interactúan estocásticamente. Los IPS son el análogo en tiempo continuo de los autómatas celulares estocásticos.

Entre los principales ejemplos se encuentran el modelo de votantes, el proceso de contacto, el proceso de exclusión simple asimétrico (ASEP), la dinámica de Glauber y, en particular, el modelo de Ising estocástico.

Los IPS se definen normalmente a través de su generador de Markov, que da lugar a un proceso de Markov único utilizando semigrupos de Markov y el teorema de Hille-Yosida. El generador se da de nuevo mediante las llamadas tasas de transición , donde es un conjunto finito de sitios y con para todo . Las tasas describen los tiempos de espera exponenciales del proceso para saltar de la configuración a la configuración . De manera más general, las tasas de transición se dan en forma de una medida finita en .

El generador de un IPS tiene la siguiente forma. En primer lugar, el dominio de es un subconjunto del espacio de «observables», es decir, el conjunto de funciones continuas de valor real en el espacio de configuración . Entonces, para cualquier observable en el dominio de , se tiene

.

Por ejemplo, para el modelo de Ising estocástico tenemos , , si para algún y

donde es la configuración igual a , excepto que se invierte en el sitio . es un nuevo parámetro que modela la temperatura inversa.

El modelo del votante El modelo de votante (normalmente en tiempo continuo, aunque también hay versiones discretas) es un proceso similar al proceso de contacto. En este proceso, representa la actitud de un votante sobre un tema concreto. Los votantes reconsideran sus opiniones en momentos distribuidos según variables aleatorias exponenciales independientes (esto da lugar a un proceso de Poisson a nivel local; hay que tener en cuenta que, en general, hay infinitos votantes, por lo que no se puede utilizar un proceso de Poisson global). En los momentos de reconsideración, un votante elige a uno de sus vecinos de forma uniforme entre todos ellos y adopta la opinión de ese vecino. Se puede generalizar el proceso permitiendo que la elección de los vecinos no sea uniforme.

Proceso de tiempo discreto En el modelo de votante de tiempo discreto en una dimensión, representa el estado de la partícula en el momento . De manera informal, cada individuo se coloca en una línea y puede «ver» a otros individuos que se encuentran dentro de un radio, . Si más de una determinada proporción, , de estas personas no están de acuerdo, entonces el individuo cambia su actitud; de lo contrario, la mantiene igual. Durrett y Steif (1993) y Steif (1994) muestran que, para radios grandes, existe un valor crítico tal que, si , la mayoría de los individuos nunca cambian, y para en el límite, la mayoría de los sitios están de acuerdo. (Ambos resultados asumen que la probabilidad de es la mitad).

Este proceso tiene una generalización natural a más dimensiones, algunos resultados de esto se discuten en Durrett y Steif (1993). Proceso de tiempo continuo El proceso de tiempo continuo es similar en el sentido de que imagina que cada individuo tiene una creencia en un momento dado y la cambia en función de las actitudes de sus vecinos. El proceso es descrito de manera informal por Liggett (1985, 226): «Periódicamente (es decir, en momentos exponenciales independientes), un individuo reevalúa su opinión de una manera bastante simple: elige al azar a un «amigo» con ciertas probabilidades y adopta su posición». Holley y Thomas M. Liggett (1975) construyeron un modelo con esta interpretación.

Este proceso es equivalente al sugerido por primera vez por Clifford y Sudbury (1973), en el que los animales están en conflicto por el territorio y están igualados. Se selecciona un lugar para ser invadido por un vecino en un momento dado.

Bibliografía

Categoría:Teoría de sistemas complejos Categoría:Modelos de Markov