En matemáticas, el lema de Wiener es una identidad muy conocida que relaciona el comportamiento asintótico de los coeficientes de Fourier de una medida de Borel en el círculo con su parte discreta. Este resultado admite una afirmación análoga para las medidas en la recta real. Fue descubierto por primera vez por Norbert Wiener.
Definición Consideremos el espacio de todas las medidas de Borel complejas (finitas) en el círculo unitario y el espacio de funciones continuas en como su espacio dual. Entonces para todo y .
Dado , sea
sea su parte discreta (lo que significa que y para . Entonces
donde es el -ésimo coeficiente de Fourier-Stieltjes de .
De manera similar, en la recta real , el espacio de funciones continuas que se anulan en el infinito es el espacio dual de y para todo .
Dado , sea
su parte discreta. Entonces
donde es la transformada de Fourier-Stieltjes de .
Consecuencias Si es continua, entonces
Además, tiende a cero si es absolutamente continua. De forma equivalente, es absolutamente continua si su secuencia de Fourier-Stieltjes pertenece al espacio de secuencias . Es decir, si no asigna masa a los conjuntos de medida de Lebesgue cero (es decir, ), entonces cuando . Por el contrario, si cuando , entonces no asigna masa a los conjuntos numerables.
Una medida de probabilidad en el círculo es una masa de Dirac si y solo si
Aquí, la implicación no trivial se deriva del hecho de que los pesos son positivos y satisfacen
lo que obliga a y, por lo tanto, a , de modo que debe haber un único átomo con masa .
Demostración En primer lugar, observamos que si es una medida compleja en el círculo, entonces
con . La función está acotada por en valor absoluto y tiene , mientras que para , que converge a cuando . Por lo tanto, según el Teorema de la convergencia dominada,
Ahora tomamos como la medida empujada de bajo la aplicación inversa en , es decir, para cualquier conjunto boreliano . Esta medida compleja tiene coeficientes de Fourier . Vamos a aplicar lo anterior a la convolución entre y , es decir, elegimos , lo que significa que es la adelanto de la medida (en ) bajo la aplicación de producto . Por el teorema de Fubini
Por lo tanto, según la identidad derivada anteriormente,
De nuevo, por el teorema de Fubini, el lado derecho es igual a
La demostración de la afirmación análoga para la recta real es idéntica, salvo que utilizamos la identidad
(que se deduce del teorema de Fubini), donde . Observamos que , y para , que converge a cuando . Por lo tanto, según el teorema de convergencia dominada, tenemos la identidad análoga
Véase también Problema del momento trigonométrico
Referencias
Bibliografía
Categoría:Lemas (matemáticas) Categoría:Análisis matemático