El método de elementos analíticos (AEM) es un método numérico utilizado para la resolución de ecuaciones diferenciales parciales. Fue desarrollado inicialmente por O.D.L. Strack en la Universidad de Minnesota. Es similar en naturaleza al método de elementos de contorno (BEM), ya que no se basa en la discretización de volúmenes o áreas en el sistema modelado; solo se discretizan los contornos internos y externos. Una de las principales diferencias entre el AEM y el BEM es que las integrales de contorno se calculan analíticamente. Aunque se desarrolló originalmente para modelar el flujo de aguas subterráneas, Posteriormente, el AEM se ha aplicado a otros campos de estudio, como los estudios del flujo y la conducción de calor, las ondas periódicas y la deformación por fuerza.
miniatura|Flujo alrededor de cilindros impermeables. Resuelto con el AEM utilizando 20 coeficientes en las expansiones en serie.
Base matemática La premisa básica del método de elementos analíticos es que, para las ecuaciones diferenciales lineales, las soluciones elementales pueden superponerse para obtener soluciones más complejas. Existe un conjunto de soluciones analíticas en 2D y 3D («elementos») disponibles para diferentes ecuaciones determinantes. Estos elementos suelen corresponder a una discontinuidad en la variable dependiente o su gradiente a lo largo de un límite geométrico (por ejemplo, punto, línea, elipse, círculo, esfera, etc.). Esta discontinuidad tiene una forma funcional específica (normalmente un polinomio en 2D) y puede manipularse para satisfacer las condiciones de contorno de Dirichlet, Neumann o Robin (mixtas). Cada solución analítica es infinita en el espacio y/o el tiempo.
Por lo general, cada solución analítica contiene grados de libertad (coeficientes) que pueden calcularse para cumplir las condiciones límite prescritas a lo largo del borde del elemento. Para obtener una solución global (es decir, los coeficientes correctos del elemento), se resuelve un sistema de ecuaciones de manera que se satisfagan las condiciones de contorno a lo largo de todos los elementos (utilizando el colocalización, la minimización de mínimos cuadrados o un enfoque similar). Cabe destacar que la solución global proporciona una descripción espacialmente continua de la variable dependiente en todo el dominio infinito, y la ecuación que rige se cumple exactamente en todas partes, excepto a lo largo del borde del elemento, donde la ecuación que rige no es estrictamente aplicable debido a la discontinuidad.
La capacidad de superponer numerosos elementos en una única solución significa que se pueden obtener soluciones analíticas para condiciones de contorno arbitrariamente complejas. Es decir, se pueden resolver modelos que tienen geometrías complejas, contornos rectos o curvos, contornos múltiples, condiciones de contorno transitorias, múltiples capas acuíferas, propiedades que varían por tramos y propiedades que varían continuamente. Los elementos se pueden implementar utilizando expansiones de campo lejano, de modo que los modelos que contienen muchos miles de elementos se pueden resolver de manera eficiente y con alta precisión.
El método de elementos analíticos se ha aplicado a problemas de flujo de agua subterránea regidos por una variedad de ecuaciones diferenciales parciales lineales, incluyendo la Laplace, la Ecuación de Poisson, la ecuación de Helmholtz modificada, la ecuación del calor, y las ecuaciones biarmónicas. A menudo, estas ecuaciones se resuelven utilizando variables complejas, lo que permite utilizar técnicas matemáticas disponibles en la teoría de variables complejas. Una técnica útil para resolver problemas complejos es el uso del mapa conforme, que mapea el límite de una geometría, por ejemplo, una elipse, sobre el límite de la círculo unitario, donde se conoce la solución.
En el método de elementos analíticos se utilizan el potencial de descarga y la función de corriente, o el potencial complejo combinado. Este potencial vincula las propiedades físicas del sistema de aguas subterráneas, la carga hidráulica o los límites de flujo, con una representación matemática de un potencial. Esta representación matemática puede utilizarse para calcular el potencial en términos de posición y, por lo tanto, también para resolver problemas de flujo de aguas subterráneas. Los elementos se desarrollan resolviendo las condiciones de contorno para cualquiera de estas dos propiedades, la carga hidráulica o el límite de flujo, lo que da como resultado soluciones analíticas capaces de tratar numerosas condiciones de contorno. Comparación con otros métodos Como se ha mencionado, el método de elementos analíticos no se basa en la discretización del volumen o el área en el modelo, como en los métodos de elementos finitos o diferencias finitas. Por lo tanto, puede modelar problemas complejos con un error del orden de la precisión de la máquina. Esto se ilustra en un estudio que modeló un acuífero isotrópico altamente heterogéneo incluyendo 100 000 heterogeneidades esféricas con una conductividad aleatoria y rastreando 40 000 partículas. El método de elementos analíticos puede utilizarse eficazmente como herramienta de verificación o selección en proyectos de mayor envergadura, ya que permite calcular de forma rápida y precisa el flujo de agua subterránea en muchos problemas complejos.
A diferencia de otros métodos de modelización de aguas subterráneas de uso común, como el método de elementos finitos o el método de diferencias finitas, el AEM no discretiza el dominio del modelo en celdas. Esto ofrece la ventaja de que el modelo es válido para cualquier punto dado del dominio del modelo. Sin embargo, también implica que el dominio no se puede dividir tan fácilmente en regiones con, por ejemplo, diferente conductividad hidráulica, como cuando se modela con una cuadrícula de celdas; sin embargo, una solución a este problema es incluir subdominios en el modelo AEM. También existen soluciones para implementar propiedades o estructuras que varían verticalmente en un acuífero en un modelo AEM. Véase también Método de elementos de frontera Transformación conforme Principio de superposición
Referencias
Bibliografía
Enlaces externos Analytic elements community web site Fitts Geolsolutions, AnAqSim (analytic aquifer simulator) and AnAqSimEDU (free) web site
Categoría:Ecuaciones diferenciales numéricas Categoría:Modelos hidrológicos