Utilizada en hidrogeología, la ecuación del flujo de agua subterránea es la relación matemática que se utiliza para describir el flujo de agua subterránea a través de un acuífero. El flujo transitorio del agua subterránea se describe mediante una forma de la ecuación de difusión, similar a la utilizada en la transferencia de calor para describir el flujo de calor en un sólido (conducción de calor). El flujo en estado estacionario del agua subterránea se describe mediante una forma de la ecuación de Laplace, que es una forma de flujo potencial y tiene análogos en numerosos campos.

La ecuación del flujo de agua subterránea se deriva a menudo para un pequeño volumen elemental representativo (REV), en el que se supone que las propiedades del medio son efectivamente constantes. Se realiza un balance de masa del agua que entra y sale de este pequeño volumen, expresándose los términos de flujo en la relación en términos de altura mediante el uso de la ecuación constitutiva denominada ley de Darcy, que requiere que el flujo sea laminar. Otros enfoques se basan en modelos basados en agentes para incorporar el efecto de acuíferos complejos como los kársticos o las rocas fracturadas (es decir, volcánicas).

Balance de masa Se debe realizar un balance de masa y utilizarlo junto con la ley de Darcy para llegar a la ecuación de flujo transitorio de agua subterránea. Este balance es análogo al balance de energía utilizado en la transferencia de calor para llegar a la ecuación del calor. Se trata simplemente de una afirmación contable, según la cual, para un volumen de control dado, aparte de las fuentes o sumideros, la masa no se puede crear ni destruir. La conservación de la masa establece que, para un incremento de tiempo dado (Δt), la diferencia entre la masa que entra a través de los límites, la masa que sale a través de los límites y las fuentes dentro del volumen es el cambio en el almacenamiento.

Ecuación de difusión (flujo transitorio) La masa puede representarse como densidad multiplicada por volumen, y en la mayoría de las condiciones, el agua puede considerarse incompresible (la densidad no depende de la presión). Los flujos de masa a través de los límites se convierten entonces en flujos de volumen (como se encuentra en la ley de Darcy). Utilizando la serie de Taylor para representar los términos de flujo de entrada y salida a través de los límites del volumen de control, y utilizando el teorema de la divergencia para convertir el flujo a través del límite en un flujo sobre todo el volumen, la forma final de la ecuación de flujo de agua subterránea (en forma diferencial) es:

Esto se conoce en otros campos como la ecuación de difusión o ecuación del calor, y es una ecuación diferencial parcial (PDE) parabólica. Esta expresión matemática indica que el cambio en la altura hidráulica con el tiempo (lado izquierdo) es igual a la divergencia negativa del flujo (q) y los términos fuente (G). Esta ecuación tiene como incógnitas tanto la altura como el flujo, pero la ley de Darcy relaciona el flujo con las alturas hidráulicas, por lo que sustituirlo por el flujo (q) da como resultado

Ahora bien, si la conductividad hidráulica (K) es espacialmente uniforme e isotrópica (en lugar de un tensor), se puede sacar de la derivada espacial, simplificándola al laplaciano, lo que da como resultado la ecuación

Al dividir por el almacenamiento específico (Ss), se coloca la difusividad hidráulica (α = K/Ss o, de forma equivalente, α = T/S) en el lado derecho. La difusividad hidráulica es proporcional a la velocidad a la que un pulso de presión finito se propagará a través del sistema (los valores grandes de “'α”' conducen a una rápida propagación de las señales). La ecuación del flujo de agua subterránea se convierte entonces en

Donde el término sumidero/fuente, «G», ahora tiene las mismas unidades, pero se divide por el término de almacenamiento adecuado (tal y como se define por la sustitución de la difusividad hidráulica).

Coordenadas cartesianas rectangulares

Especialmente cuando se utilizan modelos de diferencias finitas de cuadrícula rectangular (por ejemplo, MODFLOW, creado por el USGS), trabajamos con coordenadas cartesianas. En estas coordenadas, el operador laplaciano general se convierte (para el flujo tridimensional) específicamente en

El código MODFLOW discretiza y simula una forma ortogonal tridimensional de la ecuación que rige el flujo de agua subterránea. Sin embargo, tiene la opción de funcionar en modo «cuasi-3D» si el usuario lo desea; en este caso, el modelo trata con las medias verticales «T» y «S», en lugar de «k» y «Ss». En el modo cuasi-3D, el flujo se calcula entre capas horizontales 2D utilizando el concepto de fuga.

Coordenadas cilíndricas circulares Otro sistema de coordenadas útil son las coordenadas cilíndricas 3D (normalmente cuando un pozo de bombeo es una fuente lineal situada en el origen, paralela al eje «z», que provoca un flujo radial convergente). En estas condiciones, la ecuación anterior se convierte en (siendo «r» la distancia radial y «θ» el ángulo),

Hipótesis Esta ecuación representa el flujo hacia un pozo de bombeo (un sumidero de fuerza «G»), situado en el origen. Tanto esta ecuación como la versión cartesiana anterior son ecuaciones fundamentales en el flujo de aguas subterráneas, pero para llegar a este punto se requiere una simplificación considerable. Algunas de las principales hipótesis que se han tenido en cuenta en ambas ecuaciones son:

el material del acuífero es incompresible (no hay cambios en la matriz debido a cambios en la presión, también conocido como subsidencia), el agua tiene una densidad constante (incompresible), cualquier carga externa sobre el acuífero (por ejemplo, sobrecarga, presión atmosférica) es constante, para el problema radial 1D, el pozo de bombeo penetra completamente en un acuífero sin fugas, el agua subterránea fluye lentamente (número de Reynolds menor que la unidad), y la conductividad hidráulica (K) es un isotrópico escalar.

A pesar de estas grandes suposiciones, la ecuación del flujo de agua subterránea representa bien la distribución de las cabezas en los acuíferos debido a una distribución transitoria de fuentes y sumideros. Ecuación de Laplace (flujo en estado estacionario) Si el acuífero tiene condiciones de contorno de recarga, se puede alcanzar un estado estacionario (o se puede utilizar como aproximación en muchos casos), y la ecuación de difusión (arriba) se simplifica a la ecuación de Laplace.

Esta ecuación establece que la carga hidráulica es una función armónica y tiene muchos análogos en otros campos. La ecuación de Laplace se puede resolver utilizando técnicas, con supuestos similares a los mencionados anteriormente, pero con los requisitos adicionales de un campo de flujo en estado estacionario.

Un método común para resolver estas ecuaciones en ingeniería civil y mecánica de suelos es utilizar la técnica gráfica de dibujar flownets, donde las líneas de contorno de la carga hidráulica y la función de corriente forman una rejilla curvilínea, lo que permite resolver aproximadamente geometrías complejas.

El flujo en estado estacionario hacia un pozo de bombeo (que nunca se produce realmente, pero que a veces es una aproximación útil) se denomina comúnmente solución de Thiem. Flujo bidimensional de agua subterránea Las ecuaciones de flujo de agua subterránea anteriores son válidas para el flujo tridimensional. En acuíferos no confinados, la solución a la forma tridimensional de la ecuación se complica por la presencia de una condición límite de superficie libre nivel freático: además de resolver la distribución espacial de las cabezas, la ubicación de esta superficie también es una incógnita. Se trata de un problema no lineal, aunque la ecuación que lo rige sea lineal.

Se puede obtener una formulación alternativa de la ecuación del flujo de agua subterránea invocando la hipótesis de Dupuit-Forchheimer, en la que se supone que las cabezas no varían en la dirección vertical (es decir, ). Se aplica un balance hídrico horizontal a una columna vertical larga con área que se extiende desde la base del acuífero hasta la superficie no saturada. Esta distancia se denomina espesor saturado, b. En un acuífero confinado, el espesor saturado viene determinado por la altura del acuífero, H, y la altura de presión es distinta de cero en todas partes. En un acuífero no confinado, el espesor saturado se define como la distancia vertical entre la superficie del nivel freático y la base del acuífero. Si , y la base del acuífero se encuentra en el nivel cero, entonces el espesor saturado no confinado es igual a la altura, es decir, b=h.

Suponiendo que tanto la conductividad hidráulica como los componentes horizontales del flujo son uniformes a lo largo de todo el espesor saturado del acuífero (es decir, y ), podemos expresar la ley de Darcy en términos de descargas de agua subterránea integradas, «Qx» y «Qy»:

Al insertar estos valores en nuestra expresión de balance de masa, obtenemos la ecuación general bidimensional que rige el flujo de agua subterránea saturada incompresible:

Donde «n» es la porosidad del acuífero. El término fuente, «N» (longitud por tiempo), representa la adición de agua en la dirección vertical (por ejemplo, recarga). Al incorporar las definiciones correctas de espesor saturado, almacenamiento específico y rendimiento específico, podemos transformar esto en dos ecuaciones determinantes únicas para condiciones confinadas y no confinadas:

(confinado), donde «S=Ssb» es la capacidad de almacenamiento del acuífero y

(no confinado), donde Sy es el rendimiento específico del acuífero.

Tenga en cuenta que la ecuación diferencial parcial en el caso no confinado es no lineal, mientras que en el caso confinado es lineal. Para el flujo en estado estacionario no confinado, esta no linealidad puede eliminarse expresando la EDP en términos de la altura al cuadrado:

O, para acuíferos homogéneos,

Esta formulación nos permite aplicar métodos estándar para resolver ecuaciones diferenciales parciales lineales en el caso de flujo no confinado. Para acuíferos heterogéneos sin recarga, se pueden aplicar métodos de flujo potencial para casos mixtos confinados/no confinados.

Referencias

H. F. Wang and M.P. Anderson Introduction to Groundwater Modeling: Finite Difference and Finite Element Methods Una excelente lectura para principiantes en el modelado de aguas subterráneas. Abarca todos los conceptos básicos, con ejemplos «sencillos» en FORTRAN 77. Freeze, R. Allan; Cherry, John A. (1979). Groundwater . Prentice Hall. . Enlaces externos USGS groundwater software — free groundwater modeling software like MODFLOW Groundwater Hydrology (MIT OpenCourseware)

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