La onda expansiva de Taylor-von Neumann-Sedov, en ocasiones, denominada onda expansiva de Sedov-von Neumann-Taylor hace referencia a una onda expansiva provocada por una fuerte explosión. La onda expansiva fue descrita por una solución autosimilar de forma independiente por G. I. Taylor, John von Neumann y Leonid Sedov durante la Segunda Guerra Mundial.Bluman, G. W. y Cole, J. D. (2012). Métodos de similitud para ecuaciones diferenciales (Vol. 13). Springer Science & Business Media.Barenblatt, G. I., Barenblatt, G. I., & Isaakovich, B. G. (1996). Escalado, autosimilaridad y asintótica intermedia: análisis dimensional y asintótica intermedia (Vol. 14). Cambridge University Press. Historia G. I. Taylor fue informado por el Ministerio de Seguridad Interior británico de que podría ser posible fabricar una bomba en la que se liberaría una gran cantidad de energía mediante fisión nuclear y se le pidió que informara sobre el efecto de tales armas. Taylor presentó sus resultados el 27 de junio de 1941.G. I. Taylor, Informe británico RC-210, 27 de junio de 1941. Exactamente al mismo tiempo, en los Estados Unidos, John von Neumann trabajaba en el mismo problema y presentó sus resultados el 30 de junio de 1941.John von Neumann, NDRC, Div. B, Informe AM-9, 30 de junio de 1941. Se dice que Leonid Sedov también trabajaba en el problema por esas mismas fechas en la URSS, aunque Sedov nunca confirmó ninguna fecha exacta.Deakin, M. A. (2011). GI Taylor y la prueba Trinity. Revista Internacional de Educación Matemática en Ciencia y Tecnología, 42(8), 1069-1079.
La solución completa fue publicada por primera vez por Sedov en 1946.Sedov, L. I. (1946). Propagación de ondas de choque fuertes. Revista de Matemáticas Aplicadas y Mecánica, 10, 241-250. Von Neumann publicó sus resultados en agosto de 1947 en el informe del laboratorio científico de Los Álamos titulado Onda expansiva, aunque dicho informe no se distribuyó hasta 1958. J. von Neumann, The point source solution, en Collected Works, vol. 6, A.H. Taub, ed., Pergamon, Nueva York, 1963, pp. 219-237. Taylor obtuvo autorización para publicar sus resultados en 1949 y publicó sus trabajos en dos artículos en 1950.Taylor, G. I. (1950). The formation of a blast wave by a very intense explosion I. Theoretical discussion. Proceedings of the Royal Society of London. Series A. Mathematical and Physical Sciences, 201(1065), 159-174.Taylor, G. I. (1950). La formación de una onda expansiva por una explosión muy intensa. II. La explosión atómica de 1945. Actas de la Royal Society de Londres. Serie A. Ciencias matemáticas y físicas, 201(1065), 175-186. En el segundo artículo, Taylor calculó la energía de la bomba atómica utilizada en la Prueba Trinity utilizando la similitud, simplemente observando la serie de fotografías de la onda expansiva que tenían una escala de longitud y marcas de tiempo, publicadas por Julian E Mack en 1947.Mack, J. E. (1946). Registro cinematográfico semipopular de la explosión Trinity (Vol. 221). División de Información Técnica, Operaciones Dirigidas de Oak Ridge. Este cálculo de la energía causó, en palabras del propio Taylor, «mucha vergüenza» (según Grigory Barenblatt) en los círculos del Gobierno de los Estados Unidos, ya que la cifra seguía siendo clasificada, aunque las fotografías publicadas por Mack no lo eran. El biógrafo de Taylor, George Batchelor, escribe: «Esta estimación del rendimiento de la primera explosión de una bomba atómica causó un gran revuelo... G. I. fue amonestado levemente por el Ejército de los Estados Unidos por publicar sus deducciones a partir de sus fotografías (no clasificadas)».Batchelor, G. K. y Taylor, G. I. (1996). La vida y el legado de G. I. Taylor. Cambridge University Press. Descripción matemática Consideremos una explosión fuerte (como las bombas nucleares) que libera una gran cantidad de energía en un volumen pequeño durante un intervalo de tiempo corto. Esto creará una fuerte onda de choque esférica que se propagará hacia afuera desde el centro de la explosión. La solución autosimilar intenta describir el flujo cuando la onda de choque se ha desplazado a través de una distancia que es extremadamente grande en comparación con el tamaño del explosivo. A estas grandes distancias, la información sobre el tamaño y la duración de la explosión se olvidará; solo la energía liberada influirá en la evolución de la onda de choque. Con un grado muy alto de precisión, se puede suponer que la explosión se produjo en un punto (por ejemplo, el origen ) instantáneamente en el momento .
Se supone que la onda de choque en la región autosimilar sigue siendo muy fuerte, de modo que la presión detrás de la onda de choque es muy grande en comparación con la presión (presión atmosférica) delante de la onda de choque , que puede ignorarse en el análisis. Aunque la presión del gas no perturbado es insignificante, la densidad del gas no perturbado no puede despreciarse, ya que el salto de densidad a través de ondas de choque fuertes es finito como consecuencia directa de las condiciones de Rankine-Hugoniot. Esta aproximación es equivalente a establecer y la velocidad del sonido correspondiente , pero manteniendo su densidad distinta de cero, es decir, .Zelʹdovich, I. B., & Raĭzer, I. P. (1968). Física de las ondas de choque y los fenómenos hidrodinámicos a alta temperatura (Vol. 1). Academic Press. Sección 25. pp. 93-101.
Los únicos parámetros de los que disponemos son la energía y la densidad del gas sin perturbar . Las propiedades detrás de la onda de choque, tales como , se pueden derivar de las que se encuentran delante de la onda de choque. La única combinación adimensional disponible a partir de y es:
Es razonable suponer que la evolución en y de la onda de choque depende únicamente de la variable anterior. Esto significa que la ubicación de la onda de choque corresponderá a un valor concreto, por ejemplo , de esta variable, es decir,
El análisis detallado que sigue revelará, al final, que el factor es bastante cercano a la unidad, lo que demuestra (para este problema) la capacidad predictiva cuantitativa del análisis dimensional para determinar la ubicación de la onda de choque en función del tiempo. La velocidad de propagación de la onda de choque es
Con la aproximación descrita anteriormente, las condiciones de Rankine-Hugoniot determinan la velocidad del gas inmediatamente detrás del frente de choque , y para un gas ideal de la siguiente manera
donde es la relación de calor específico. Dado que es una constante, la densidad inmediatamente detrás de la onda de choque no cambia con el tiempo, mientras que y disminuyen como y , respectivamente.
Solución autosimilar El movimiento del gas detrás de la onda de choque se rige por las ecuaciones de Euler. Para un gas politrópico ideal con simetría esférica, las ecuaciones para las variables del fluido, como la velocidad radial , la densidad y la presión , vienen dadas por
En , las soluciones deben aproximarse a los valores dados por las condiciones de Rankine-Hugoniot definidas en la sección anterior.
La presión variable puede sustituirse por la velocidad del sonido , ya que la presión puede obtenerse a partir de la fórmula . Se introducen las siguientes variables adimensionales autosimilares:Landau, L. D., & Lifshitz, E. M. (1987). Mecánica de fluidos. Traducido del ruso por JB Sykes y WH Reid. Curso de Física Teórica, 6. Sección 106, pp. 403-407.Sedov, L. I. (1993). Similitud y métodos dimensionales en mecánica. CRC press.
Las condiciones en el frente de choque se convierten en
La sustitución de las variables autosimilares en las ecuaciones determinantes dará lugar a tres ecuaciones diferenciales ordinarias. Resolver estas ecuaciones diferenciales analíticamente es laborioso, como demostraron Sedov en 1946 y von Neumann en 1947. G. I. Taylor integró estas ecuaciones numéricamente para obtener los resultados deseados.
La relación entre y se puede deducir directamente de la conservación de la energía. Dado que la energía asociada al gas no perturbado se descuida al establecer la energía total del gas dentro de la esfera de choque debe ser igual a . Debido a la autosimilaridad, está claro que no solo la energía total dentro de una esfera de radio es constante, sino también la energía total dentro de una esfera de cualquier radio (en forma dimensional, esto significa que la energía total dentro de una esfera de radio que se mueve hacia afuera con una velocidad debe ser constante). La cantidad de energía que sale de la esfera de radio en el tiempo debido a la velocidad del gas es donde es la entalpía específica del gas. En ese tiempo, el radio de la esfera aumenta con la velocidad y la energía del gas en este volumen adicional aumentado es donde es la energía específica del gas. Igualando estas expresiones y sustituyendo y , que es válido para el gas politrópico ideal, se obtiene
La ecuación de continuidad y energía se reduce a
Expresando y como una función de utilizando únicamente la relación obtenida anteriormente e integrando una vez, se obtiene la solución en forma implícita:
donde
La constante que determina la ubicación del choque puede determinarse a partir de la conservación de la energía
para obtener
Para el aire, y La solución para se muestra en la figura mediante el gráfico de las curvas de y donde es la temperatura.
Comportamiento asintótico cerca de la región central El comportamiento asintótico de la región central puede investigarse tomando el límite . En la figura se observa que la densidad cae a cero muy rápidamente detrás de la onda de choque. Toda la masa del gas, que inicialmente se distribuía uniformemente en una esfera de radio , se encuentra ahora contenida en una fina capa detrás de la onda de choque, es decir, toda la masa es impulsada hacia fuera por la aceleración impartida por la onda de choque. Por lo tanto, la mayor parte de la región está básicamente vacía. La relación de presión también cae rápidamente hasta alcanzar el valor constante . La relación de temperatura se deduce de la ley de los gases ideales; dado que la relación de densidad decae hasta cero y la relación de presión es constante, la relación de temperatura debe volverse infinita. La forma límite para la densidad se da de la siguiente manera:
Recordar que la densidad es independiente del tiempo, mientras que , lo que significa que la presión real depende, de hecho, del tiempo. Esto queda claro si se reescriben las fórmulas anteriores en unidades dimensionales:
La relación de velocidad tiene un comportamiento lineal en la región central,
mientras que el comportamiento de la velocidad en sí mismo viene dado por
Etapa final de la onda expansiva A medida que la onda de choque evoluciona en el tiempo, su fuerza disminuye. La solución autosimilar descrita anteriormente se rompe cuando se vuelve comparable a (más precisamente, cuando ). En esta etapa posterior de la evolución, (y, en consecuencia, ) no puede ignorarse. Esto significa que la evolución no es autosimilar, porque se puede formar una escala de longitud y una escala de tiempo para describir el problema. Las ecuaciones que rigen el proceso se integran entonces numéricamente, tal y como hicieron H. Goldstine y John von Neumann,Goldstine, H. H., & Neumann, J. V. (1955). Blast wave calculation. Comunicaciones sobre matemáticas puras y aplicadas, 8(2), 327-353. Brode,Brode, H. L. (1955). Soluciones numéricas de ondas de choque esféricas. Revista de física aplicada, 26(6), 766-775. y Okhotsimskii et al.Okhotsimskii, D. E. E., Kondrasheva, I. L., Vlasova, Z. I., y Kazakova, R. K. (1957). Cálculo de explosiones puntuales teniendo en cuenta la contrapresión. Trudy Matematicheskogo Instituta imeni VA Steklova, 50, 3-66. Además, en esta etapa, la onda de choque compresiva va seguida necesariamente de una onda de rarefacción detrás de ella; la forma de onda se ajusta empíricamente mediante la forma de onda de Friedlander. Explosión de línea cilíndrica