miniaturadeimagen|El algoritmo de 3 pasos: transformar la solución inicial en datos de dispersión iniciales, evolucionar los datos de dispersión y trasformar los datos de dispersión evolucionados en la solución evolucionada. En matemáticas, la transformada de dispersión inversa en un método que resuelve el problema de valor inicial de una ecuación en derivadas parciales no lineal usando métodos matemáticos relacionados con la dispersión de ondas. La transformada de dispersión directa describe cómo una función dispersa ondas o genera estados ligados. La transformada de dispersión inversa hace el proceso opuesto usando la información del problema de dispersión para construir la función responsable de esta. Las transformadas de dispersión directa e inversa son análogas a las transformadas de Fourier directas e inversas usadas para resolver ecuaciones en derivadas parciales lineales.

Usando un par de operadores diferenciales, se puede emplear un algoritmo de 3 pasos para resolver ecuaciones diferenciales no lineales. La solución inicial se transforma en información de dispersión (la transformada de dispersión directa), la información de dispersión evoluciona en el tiempo deseado, y la información de dispersión reconstruye la solución en ese tiempo (la transformada de dispersión inversa).

Este algoritmo simplifica el problema de resolver una ecuación en derivadas parciales no lineal en el de resolver 2 ecuaciones diferenciales ordinarias lineales y una ecuación integral ordinaria, lo cual lleva a la obtención de soluciones analíticas para muchas ecuaciones que serían complicadas de resolver de otra forma.

El problema de dispersión inversa es equivalente a un problema de factorización de Riemann-Hilbert, al menos en el caso de ecuaciones con dimensión espacial 1. Esta formulación puede generalizarse a operadores diferenciales de orden mayor que dos, así como a problemas periódicos. En dimensión espacial mayor, se tiene un problema de factorización de Riemann-Hilbert no local (con convolución en lugar de multiplicación) o un problema DBAR.

Historia La transformada de dispersión inversa surgió del estudio de ondas solitarias. John Scott Russell describió una «onda de traslación» u «onda solitaria» ocurriendo en aguas poco profundas. Primero Joseph Boussinesq y más tarde Diederik Korteweg y Gustav de Vries descubrieron la ecuación de Korteweg-de Vries, una ecuación en derivadas parciales no lineal que describe aguas de este tipo. Posteriormente, Norman Zabusky y Martin Kruskal, mientras usaban métodos numéricos para investigar el problema de Fermi-Pasta-Ulam-Tsingou, descubrieron que las ondas solitarias tenían las propiedades elásticas de partículas que colisionan. La amplitud y velocidad inicial y final de la onda no cambiaba tras la colisión de ondas. Estas ondas se llamaron solitones, y ocurren en ecuaciones no lineales debido a un equilibrio débil entre efectos dispersivos y no lineales.

Gardner, Greene, Kruskal y Miura introdujeron la transformada de dispersión inversa para resolver la ecuación de Korteweg-de Vries. Lax, Ablowitz, Kaup, Newell y Segur generalizaron esta aproximación, lo que llevó a la resolución de otras ecuaciones no lineales, incluyendo la ecuación de Schrödinger no lineal, la ecuación de sine-Gordon, la ecuación de Korteweg-de Vries modificada, la ecuación de Kadomtsev-Petviashvili, la ecuación de Ishimori, la ecuación de red de Toda y la ecuación de Dym. También ha sido aplicado a otros tipos de ecuaciones no lineales, incluyendo icluyendo ecuaciones en diferencias, ecuaciones multidimensionales y sistemas no lineales integrables fraccionarios.

Descripción

Ecuación en derivadas parciales no lineal Las variables independientes son una variable espacial y una variable temporal . Los subíndices o los operadores diferenciales () indican derivación. La función es una solución de una ecuación en derivadas parciales no lineal, , con condición inicial .

Requisitos La solución de la ecuación diferencial cumple las condiciones de integrabilidad y de Faddéyev:

Condición de integrabilidad: Condición de Faddéyev:

Par de operadores diferenciales Los operadores diferenciales de Lax, y , son operadores diferenciales ordinarios lineales con coeficientes que pueden contener la función o sus derivadas. El operador autoadjunto tiene derivada temporal y genera una ecuación (espectral) de valores propios con funciones propias y valores propios constantes en el tiempo (parámetros espectrales) .

and

El operador describe cómo las funciones propias evolucionan en el tiempo, y genera una nueva función propia del operador a partir de la función propia de .

Los operadores de Lax se combinan para formar un operador multiplicativo, no un operador diferencial, de las funciones propias .

Los operadores de Lax se eligen para hacer el operador multiplicativo igual a la ecuación diferencial no lineal.

Los operadores diferenciales AKNS, desarrollados por Ablowitz, Kaup, Newell y Segur, son una alternativa a los operadores diferenciales de Lax y obtienen un resultado similar.

Transformada de dispersión directa La transformada de dispersión directa genera los datos de dispersión iniciales, que pueden incluir coeficientes de reflexión y de transmisión, valores propios y constantes de normalización de las funciones propias de la ecuación diferencial:

Evolución temporal de los datos de dispersión Las ecuaciones que describen cómo evolucionan en el tiempo los datos de dispersión son soluciones de una ecuación diferencial ordinaria respecto del tiempo de primer orden. Usando distintas aproximaciones, esta ecuación diferencial lineal puede surgir de los operadores diferenciales lineales (el par de Lax, el par AKNS...), de una combinación de los operadores diferenciales lineales y de la ecuación no lineal, o a través de operaciones adicionales de sustitución, integración o derivación. Las ecuaciones para las asíntotas espaciales () simplifican la resolución de estas ecuaciones diferenciales.

Transformada de dispersión inversa La ecuación de Marchenko combina los datos de dispersión en una ecuación integral de Fredholm lineal. La solución de esta ecuación integral lleva a la solución u(x,t) de la ecuación diferencial no lineal.

Ejemplo: Ecuación de Korteweg-de Vries La ecuación de Korteweg-de Vries es la ecuación diferencial no lineal

Operadores de Lax Sus operadores de Lax son:

and

El operador multiplicativo es:

Transformada de dispersión directa Las soluciones de esta ecuación diferencial,

pueden incluir soluciones dispersivas, que presentan un rango continuo de valores propios (espectro continuo), y soluciones de estado ligado, con valores propios discretos (espectro discreto). Los datos de dispersión incluyen los coeficientes de transmisión , de reflexión por la izquierda , de reflexión por la derecha , valores propios discretos , y constantes de normalización de estados ligados por la izquierda y por la derecha.

Evolución temporal de los datos de dispersión Las funciones de Jost espacialmente asintóticas por la izquierda y por la derecha simplifican este paso.

Las constantes de dependencia relacionan las funciones de Jost por la izquierda y por la derecha y las constantes de normalización por la izquierda y por la derecha.

El operador diferencial de Lax genera una función propia que puede expresarse como combinación lineal dependiente del tiempo de las otras funciones propias.

Las soluciones de estas ecuaciones diferenciales, determinadas usando las funciones de Jost, indican que el coeficiente de transmisión es independiente del tiempo, pero los coeficientes de reflexión y de normalización sí dependen del tiempo:

Transformada de dispersión inversa Se llama núcleo de Marchenko a :

La ecuación integral de Marchenko es una ecuación integral lineal resuelta para .

La solución de la ecuación de Marchenko, , genera la solución de la ecuación en derivadas parciales:

Ejemplos de ecuaciones integrables

Ecuación de Korteweg-de Vries Ecuación de Schrödinger no lineal Ecuación de Camassa-Holm Ecuación de sine-Gordon Red de Toda Ecuación de Ishimori Ecuación de Dym

Véase también

Método de dispersión inversa cuántica Sistema hamiltoniano integrable

Referencias

Bibliografía

Bibliografía adicional

Enlaces externos

Inverse Scattering Transform and the Theory of Solitons

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