En matemáticas, específicamente en la teoría de las C*-álgebras, el toro no conmutativo , también conocido como álgebra de rotación irracional para valores irracionales de , forma una familia de -álgebras no conmutativas que generalizan el álgebra de funciones continuas en (también conocido como 2-toro) . Muchas propiedades topológicas y geométricas de tienen análogos algebraicos para los toros no conmutativos y, como tales, son ejemplos fundamentales de un espacio no conmutativo en el sentido de Alain Connes (analizar una -álgebra no conmutativa como si se tratase de un álgebra de funciones).
Definición Para cualquier número real irracional , el toro no conmutativo es la -subálgebra de (el álgebra de operadores lineales acotados de funciones cuadrado integrables en el círculo unitario ), generado por dos operadores unitarios de la formaUn cálculo rápido muestra que .
-álgebra universal: dado tenemos que se puede definir (salvo isomorfismo) como la C*-álgebra universal generada por dos elementos unitarios y que satisfacen la relación . Esta definición se extiende al caso en que es racional. En particular, cuando , usando la transformada de Gelfand tenemos que es isomorfo al espacio de funciones continuas definidas en . Álgebra de rotación irracional: Sea el grupo cíclico infinito que actúa sobre la circunferencia ⁻ mediante la acción de rotación con por un ángulo de . Esto induce una acción de por automorfismos sobre el álgebra de funciones continuas . El producto cruzado resultante es isomorfo a ⁻. Los elementos unitarios generadores son el generador del grupo y la función identidad sobre la circunferencia . Álgebra de grupos torcidos: La función definida por es un 2-cociclo de grupo en , y el álgebra de grupo torcida correspondiente es isomorfo a .
Propiedades Considerando tenemos los siguientes resultados:
es simple, es decir, no contiene ningún ideal bilateral propio cerrado aparte de y a sí mismo. tiene un estado trazal único. es nuclear .
K-teoría Respecto a la K-teoría del álgebra se tiene que de modo que no podemos distinguir a las álgebras de rotación irracionales entre ellas. Sin embargo, al estudiarlas como grupo ordenado se obtiene que , por lo tanto, dos toros no conmutativos y son isomorfos si y solo si .
Dos álgebras de rotación irracionales y son fuertemente Morita equivalentes si y solo si y están en la misma órbita de la acción de en mediante transformaciones lineales fraccionarias . En particular, los toros no conmutativos con racionales son equivalentes de Morita al toro clásico.
Referencias
Categoría:C*-álgebras
Categoría:Geometría no Conmutativa