miniaturadeimagen|Figura 1: Una fuerza atractiva F(r) hace que el planeta azul se mueva sobre el círculo cian. El planeta verde se mueve tres veces más rápido y, por tanto, necesita una fuerza centrípeta mayor, que se consigue añadiendo una fuerza atractiva inversa al cubo. El planeta rojo está inmóvil; la fuerza F(r) se equilibra con una fuerza repulsiva inversa al cubo. Una versión GIF de esta animación se encuentra aquí. En mecánica clásica, el teorema de Newton de las órbitas giratorias identifica el tipo de fuerza central necesaria para multiplicar la velocidad angular de una partícula por un factor k sin afectar su movimiento radial (figuras 1 y 2). Newton aplicó su teorema para comprender la rotación general de las órbitas (precesión apsidal, figura 3) que se observa en la Luna y los planetas. El término "movimiento radial" significa el movimiento hacia o desde el centro de la fuerza, mientras que el movimiento angular es perpendicular al movimiento radial.
Isaac Newton derivó este teorema en las proposiciones 43-45 del libro I de su Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica, publicado por primera vez en 1687. En la proposición 43, demostró que la fuerza añadida debe ser una fuerza central, cuya magnitud depende únicamente de la distancia r entre la partícula y un punto fijo en el espacio (el centro). En la proposición 44, derivó una fórmula para la fuerza, demostrando que era una fuerza inversamente proporcional al cubo, es decir, que varía como el inverso del cubo de r. En la proposición 45, Newton extendió su teorema a fuerzas centrales arbitrarias, suponiendo que la partícula se movía en una órbita casi circular.
Este teorema permaneció en gran parte desconocido y sin desarrollar durante más de tres siglos, como señaló el astrofísico Subrahmanyan Chandrasekhar en su comentario de 1995 sobre los Principia de Newton.Chandrasekhar, pág. 183. Desde 1997, el teorema ha sido estudiado por Donald Lynden-Bell y sus colaboradores.Lynden-Bell, D; Lynden-Bell RM (1997). "On the Shapes of Newton's Revolving Orbits". Notes and Records of the Royal Society of London. 51 (2): 195–198. doi:10.1098/rsnr.1997.0016. S2CID 73239002.Lynden-Bell D, Jin S (2008). "Analytic central orbits and their transformation group". Monthly Notices of the Royal Astronomical Society. 386 (1): 245–260. arXiv:0711.3491. Bibcode:2008MNRAS.386..245L. doi:10.1111/j.1365-2966.2008.13018.x. S2CID 15451037. Su primera extensión exacta se produjo en 2000 con el trabajo de Mahomed y Vawda.Mahomed FM, Vawda F (2000). "Application of Symmetries to Central Force Problems". Nonlinear Dynamics. 21 (4): 307–315. Bibcode:2000NonDy..21..307M. doi:10.1023/A:1008317327402. S2CID 116319304.
Contexto histórico izquierda|miniaturadeimagen|Movimiento retrógrado de Marte visto desde la Tierra. miniaturadeimagen|Figura 2: El radio r de los planetas verde y azul es el mismo, pero su velocidad angular difiere en un factor k. En las figuras 1 y 3-5 se muestran ejemplos de este tipo de órbitas. El movimiento de los cuerpos astronómicos se ha estudiado sistemáticamente durante miles de años. Se observó que las estrellas giraban de manera uniforme, manteniendo siempre las mismas posiciones relativas entre sí. Sin embargo, se observó que otros cuerpos se desplazaban frente al fondo de las estrellas fijas; la mayoría de estos cuerpos se denominaron planetas, del griego «πλανήτοι» (planētoi), que significa "errantes". Aunque generalmente se mueven en la misma dirección a lo largo de una trayectoria a través del cielo (la eclíptica), los planetas individuales a veces invierten su dirección brevemente, exhibiendo un movimiento retrógrado.Nemiroff, Robert (13 Junio 2010). "Retrograde Mars". Astronomy Picture of the Day. NASA. Archivado del original 31 Mayo 2011. Consultado 31/10/2016. izquierda|miniaturadeimagen|Figura 2: El radio r de los planetas verde y azul es el mismo, pero su velocidad angular difiere en un factor k. En las figuras 1 y 3-5 se muestran ejemplos de este tipo de órbitas.aFigura 3: Los planetas que giran alrededor del Sol siguen órbitas elípticas (ovaladas) que rotan gradualmente con el tiempo (precesión apsidal). La excentricidad de esta elipse está exagerada para su visualización. La mayoría de las órbitas del Sistema Solar tienen una excentricidad mucho menor, lo que las hace casi circulares. Una versión GIF de esta animación se encuentra aquí. Para describir este movimiento hacia adelante y hacia atrás, Apolonio de Perga (c. 262 - c. 190 a. C.) desarrolló el concepto de deferentes y epiciclos, según el cual los planetas se mueven en círculos giratorios que a su vez se mueven en otros círculos giratorios, y así sucesivamente. Cualquier órbita puede describirse con un número suficiente de epiciclos cuidadosamente seleccionados, ya que este enfoque se corresponde con la moderna transformada de Fourier.Sugon QM, Bragais S, McNamara DJ (2008) Copernicus’s epicycles from Newton’s gravitational force law via linear perturbation theory in geometric algebra .Aproximadamente 350 años más tarde, Claudio Ptolomeo publicó su Almagesto, en el que desarrolló este sistema para que se ajustara a las mejores observaciones astronómicas de su época. Para explicar los epiciclos, Ptolomeo adoptó la cosmología geocéntrica de Aristóteles, según la cual los planetas estaban confinados a esferas concéntricas en rotación. Este modelo del universo fue autoritario durante casi 1500 años.
La comprensión moderna del movimiento planetario surgió de los esfuerzos combinados del astrónomo Tycho Brahe y el físico Johannes Kepler en el . A Tycho se le atribuyen mediciones extremadamente precisas de los movimientos planetarios, a partir de las cuales Kepler pudo derivar sus leyes del movimiento planetario.Según estas leyes, los planetas se mueven en elipses (no en epiciclos) alrededor del Sol (no de la Tierra). Las leyes segunda y tercera de Kepler hacen predicciones cuantitativas específicas: los planetas barren áreas iguales en tiempos iguales, y el cuadrado de sus períodos orbitales es igual a una constante fija multiplicada por el cubo de su semieje mayor.Observaciones posteriores de las órbitas planetarias mostraron que el eje largo de la elipse (la llamada línea de apsides) gira gradualmente con el tiempo; esta rotación se conoce como precesión apsidal. Los apsides de una órbita son los puntos en los que el cuerpo en órbita está más cerca o más lejos del centro de atracción; para los planetas que orbitan alrededor del Sol, los apsides corresponden al perihelio (más cercano) y al afelio (más lejano).
Con la publicación de su Principia aproximadamente ochenta años después (1687), Isaac Newton proporcionó una teoría física que explicaba las tres leyes de Kepler, una teoría basada en las leyes del movimiento de Newton y su ley de la gravitación universal. En particular, Newton propuso que la fuerza gravitatoria entre dos cuerpos cualesquiera era una fuerza central F(r) que variaba como la inversa del cuadrado de la distancia r entre ellos. Partiendo de sus leyes del movimiento, Newton demostró que la órbita de cualquier partícula sobre la que actúa una fuerza de este tipo es siempre una sección cónica, concretamente una elipse si no tiende al infinito. Sin embargo, esta conclusión solo es válida cuando hay dos cuerpos presentes (el problema de dos cuerpos); el movimiento de tres o más cuerpos que actúan bajo su gravitación mutua (el problema de n cuerpos) permaneció sin resolver durante siglos después de Newton,Whittaker, pp. 339–385.Sundman KF (1912). "Memoire sur le probleme de trois corps". Acta Mathematica. 36 (1): 105–179. doi:10.1007/BF02422379aunque se descubrieron soluciones para algunos casos especiales.Hiltebeitel AM (1911). "On the Problem of Two Fixed Centres and Certain of its Generalizations". American Journal of Mathematics. 33 (1/4). The Johns Hopkins University Press: 337–362. doi:10.2307/2369997. JSTOR 2369997. Newton propuso que las órbitas de los planetas alrededor del Sol son en gran medida elípticas porque la gravedad del Sol es dominante; en primera aproximación, se puede ignorar la presencia de los demás planetas. Por analogía, la órbita elíptica de la Luna alrededor de la Tierra estaba dominada por la gravedad de la Tierra; en primera aproximación, se puede despreciar la gravedad del Sol y la de otros cuerpos del sistema solar. Sin embargo, Newton afirmó que la precesión apsidal gradual de las órbitas planetarias y lunares se debía a los efectos de estas interacciones ignoradas; en particular, afirmó que la precesión de la órbita de la Luna se debía a los efectos perturbadores de las interacciones gravitacionales con el Sol.
El teorema de Newton sobre las órbitas giratorias fue su primer intento de comprender cuantitativamente la precesión apsidal. Según este teorema, la adición de un tipo particular de fuerza central —la fuerza inversa al cubo— puede producir una órbita giratoria; la velocidad angular se multiplica por un factor k, mientras que el movimiento radial permanece inalterado. Sin embargo, este teorema se limita a un tipo específico de fuerza que puede no ser relevante; varias interacciones perturbadoras inversas al cuadrado (como las de otros planetas) parecen poco probables que se sumen exactamente a una fuerza inversa al cubo. Para que su teorema fuera aplicable a otros tipos de fuerzas, Newton encontró la mejor aproximación de una fuerza central arbitraria F(r) a un potencial inverso al cubo en el límite de órbitas casi circulares, es decir, órbitas elípticas de baja excentricidad, como ocurre en la mayoría de las órbitas del sistema solar. Para encontrar esta aproximación, Newton desarrolló una serie infinita que puede considerarse la precursora de la expansión de Taylor.Cohen, p. 147. Esta aproximación permitió a Newton estimar la tasa de precesión para fuerzas centrales arbitrarias. Newton aplicó esta aproximación para probar modelos de la fuerza que causa la precesión apsidal de la órbita de la Luna. Sin embargo, el problema del movimiento de la Luna es tremendamente complejo, y Newton nunca publicó un modelo gravitacional preciso de la precesión apsidal de la Luna. Tras un modelo más preciso de Clairaut en 1747,Clairaut, AC (1745). "Du Système du Monde dans les principes de la gravitation universelle". Histoire de l'Académie Royale des Sciences avec les mémoires de mathématique et de physique. 1749: 329–364. Archivado del original 2011-06-07. Consultado 2007-07-12. a finales del Hill,Hill GW (1894). "Literal expression for the motion of the moon's perigee". Ann. Math. 9 (1/6): 31–41. doi:10.2307/1967502. JSTOR 1967502. BrownBrown EW (1891). "Unknown title". Am. J. Math. 13 (2). The Johns Hopkins University Press: 159–172. doi:10.2307/2369812. JSTOR 2369812.
Brown EW (1891). "On the Determination of a Certain Class of Inequalities in the Moon's Motion". Monthly Notices of the Royal Astronomical Society. 52 (2): 71. Bibcode:1891MNRAS..52...71B. doi:10.1093/mnras/52.2.71y DelaunayDelaunay C (1862). "Unknown title". Mémoires Acad. Imp. Sc.: 237.
Delaunay C (1867). "Unknown title". Mémoires Acad. Imp. Sc.: 451.desarrollaron modelos analíticos del movimiento de la Luna.
Sin embargo, el teorema de Newton es más general que la mera explicación de la precesión apsidal. Describe los efectos de añadir una fuerza inversamente proporcional al cubo a cualquier fuerza central F(r), no solo a fuerzas inversamente proporcionales al cuadrado, como la ley de la gravitación universal de Newton y la ley de Coulomb. El teorema de Newton simplifica los problemas orbitales en la mecánica clásica al eliminar las fuerzas inversas al cubo de la consideración. Los movimientos radiales y angulares, r(t) y θ1(t), pueden calcularse sin la fuerza inversa al cubo; posteriormente, su efecto puede calcularse multiplicando la velocidad angular de la partícula.
Enunciado matemático