En álgebra abstracta, el teorema 90 de Hilbert (o Satz 90) es un resultado importante en la extensión abeliana de cuerpos (o en una de sus generalizaciones) que conduce a la teoría de Kummer. En su forma más básica, establece que si L/K es una extensión de cuerpos con un grupo de Galois cíclico G=Gal(L/K) generado por un elemento y si es un elemento de L de norma de un cuerpo 1, es decir, entonces existe un en L tal que Toma su nombre de ser el teorema número 90 en el Zahlbericht de David Hilbert () aunque originalmente se debe a . A menudo se denomina con este mismo nombre a un teorema más general, debido a , que establece que si L/K es una extensión de Galois finita de cuerpos con un grupo de Galois arbitrario G = Gal(L/K), entonces la primera cohomología de grupos de G, con coeficientes en el grupo multiplicativo de L, es trivial:

Ejemplos Sea la extensión de cuerpos . El grupo de Galois es cíclico de orden 2, y su generador actúa por conjugación:

Un elemento en tiene norma . Por lo tanto, un elemento de norma uno corresponde a una solución racional de la ecuación o, en otras palabras, a un punto con coordenadas racionales en la circunferencia goniométrica. El teorema 90 de Hilbert establece que cada elemento a de norma uno puede escribirse como

donde es como en la conclusión del teorema, y c y d son ambos enteros. Esto puede considerarse como una parametrización racional de los puntos racionales en la circunferencia unitaria. Los puntos racionales en la circunferencia unitaria corresponden a ternas pitagóricas, es decir, ternas de enteros que satisfacen que .

Cohomología El teorema puede enunciarse en términos de una cohomología de grupos: si L× es el grupo multiplicativo de cualquier extensión de Galois (no necesariamente finita) L de un cuerpo K con su correspondiente grupo de Galois G, entonces

Específicamente, la cohomología de grupos es la cohomología compleja, cuyas i-cocadenas son funciones arbitrarias de i-tuplas de elementos de grupo al grupo de coeficientes multiplicativos, , con diferenciales definidas en dimensiones por:

donde denota la imagen del elemento módulo ( bajo la acción del elemento de grupo . Nótese que en el primero de ellos se ha identificado un 0-complejo de cadenas , con su valor de imagen único .

La trivialidad del primer grupo de cohomología es entonces equivalente a que los 1-cociclos sean iguales a 1-colímites , a saber:

Para el cíclico, un 1-cociclo está determinado por , con y:

Por otro lado, un 1-colímite está determinado por . Al igualar estos términos, se obtiene la versión original del Teorema.

Otra generalización es a la cohomología con coeficientes no abelianos: si H es un grupo lineal general o un grupo lineal especial sobre L, incluyendo , entonces . Otra generalización es a un esquema X:

donde es el grupo de clases de isomorfismo de haces localmente libres de módulos de rango 1 para la topología de Zariski, y es el haz definido por la línea afín sin el origen, considerado como un grupo bajo multiplicación.

Hay otra generalización de la teoría K de Milnor que juega un papel importante en la prueba de Voevodsky de conjetura de Milnor.

Demostración Sea cíclico de grado y genera . Elíjase cualquier de norma

Al despejar los denominadores, resolver es lo mismo que demostrar que tiene como valor propio. Se extiende esto a una función de espacios vectoriales mediante:

según el teorema del elemento primitivo da para algún . Dado que tiene un polinomio minimal

se puede identificar que:

mediante:

Aquí se escribe el segundo factor como un polinomio en .

Bajo esta identificación, la función se convierte en:

Es decir, bajo esta función:

es un vector propio con valor propio si y solo si tiene norma .

Referencias

Bibliografía

Capítulo II de J.S. Milne, «Teoría de Campos de Clase», disponible en su sitio web .

Enlaces externos Universidad de Buenos Aires (Cohomología Galoisiana, por Mariano Suárez Álvarez)

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