miniaturadeimagen|Foto de Richard Dedekind en 1870. En álgebra abstracta, un dominio de Dedekind o anillo de Dedekind, llamado así por el matemático alemán Richard Dedekind (1831-1916), es un dominio de integridad en el que cada ideal propio no nulo se convierte en un producto de ideales primos. Se puede demostrar que tal factorización es entonces necesariamente única hasta el orden de los factores. Hay al menos otras tres caracterizaciones de los dominios de Dedekind que a veces se toman como definición (véase más abajo).
Un cuerpo es un anillo conmutativo en el que no hay ideales propios no triviales, por lo que cualquier cuerpo es un dominio de Dedekind, aunque de una manera bastante vacua. Algunos autores agregan el requisito de que un dominio de Dedekind no sea un cuerpo. Muchos más autores establecen teoremas para los dominios de Dedekind con la condición implícita de que pueden requerir modificaciones triviales para el caso de los cuerpos.
Una consecuencia inmediata de la definición es que todo dominio de ideales principales (DIP) es un dominio de Dedekind. De hecho, un dominio de Dedekind es un dominio de factorización única (DFU) si y solo si es un DIP.
La prehistoria de los dominios de Dedekind En el , se convirtió en una técnica común obtener información sobre soluciones enteras de ecuaciones algebraicas utilizando anillos de números algebraicos de grado superior. Por ejemplo, elíjase un número entero positivo. En el intento de determinar qué números enteros están representados por la forma cuadrática , es natural factorizar la forma cuadrática en , teniendo lugar la factorización en el anillo de los números enteros del cuerpo cuadrático . De manera similar, para un número entero positivo , el polinomio (que es relevante para resolver la ecuación de Fermat ) se puede factorizar sobre el anillo , donde es una raíz n-ésima primitiva de la unidad.
Para unos pocos valores pequeños de y , estos anillos de números enteros algebraicos son DIP, y esto puede verse como una explicación de los éxitos clásicos de Fermat () y Euler (). En ese momento, los teóricos de las formas cuadráticas conocían bien un procedimiento para determinar si el anillo de todos los enteros algebraicos de un cuerpo cuadrático dado es un DIP. Especialmente, Gauss había analizado el caso de cuerpos cuadráticos imaginarios: encontró exactamente nueve valores de para los cuales el anillo de enteros es un DIP y conjeturó que no había más valores (la conjetura de Gauss fue probada más de cien años después por Kurt Heegner, Alan Baker y Harold Stark). Sin embargo, esto se entendía (solo) en el lenguaje de las clases de equivalencia de las formas cuadráticas, de modo que en particular la analogía entre formas cuadráticas y la ecuación de Fermat parece que no había sido percibida. En 1847 Gabriel Lamé anunció una solución del último teorema de Fermat para todos los ; es decir, que la ecuación de Fermat no tiene soluciones en enteros distintos de cero, pero resultó que su solución dependía de la suposición de que el anillo ciclotómico es un DFU. Ernst Kummer había demostrado tres años antes que este no era el caso para (ahora se conoce la lista completa y finita de valores para los que es un DFU). Al mismo tiempo, Kummer desarrolló métodos nuevos y potentes para demostrar el último teorema de Fermat al menos para una gran clase de exponentes primos utilizando lo que ahora se conoce como el hecho de que el anillo es un dominio de Dedekind. De hecho, Kummer no trabajaba con ideales sino con números ideales, y Dedekind dio la definición moderna de un ideal.
En el los algebristas y los teóricos de los números se dieron cuenta de que la condición de ser un DIP es bastante delicada, mientras que la condición de ser un dominio de Dedekind es bastante sólida. Por ejemplo, el anillo de números enteros ordinarios es un DIP, pero como se ve arriba, el anillo de números enteros algebraicos en un cuerpo de números algebraicos no necesita ser un DIP. De hecho, aunque Gauss también conjeturó que hay infinitos números primos tales que el anillo de números enteros de es un DIP, en 2016 todavía no se sabía si hay infinitos cuerpos numéricos (de grado arbitrario) tales que es un DIP. Por otro lado, el anillo de enteros en un cuerpo numérico es siempre un dominio de Dedekind.
Otra ilustración de la dicotomía delicado/robusto es el hecho de que ser un dominio de Dedekind es, entre los anillos noetherianos, una propiedad local: un dominio noetheriano es de Dedekind si y solo si para cada ideal máximo de , la localización es un anillo de Dedekind. Pero un dominio local es un anillo de Dedekind si y solo si es un DIP y si y solo si es un anillo de valoración discreta, por lo que la misma caracterización local no puede ser válida para los DIP: más bien, se puede decir que el concepto de un anillo de Dedekind es la globalización del concepto de un anillo de valoración discreta.
Definiciones alternativas Para un dominio integral que no es un cuerpo, todas las siguientes condiciones son equivalentes:
(DD1) Todo ideal propio distinto de cero se factoriza en números primos. (DD2) es noetheriano, y la localización en cada ideal máximo es un anillo de valoración discreto. (DD3) Todo ideal fraccional distinto de cero de es invertible. (DD4) es un integralmente cerrado, dominio noetheriano con Dimensión de Krull uno (es decir, todo ideal primo distinto de cero es máximo). (DD5) Para cualesquiera dos ideales y en , está contenido en si y solo si divide a como ideales. Es decir, existe un ideal tal que . Un anillo conmutativo (no necesariamente un dominio) con unidad que cumple esta condición se denomina anillo de división de contención (ADC).
Por lo tanto, un dominio de Dedekind es un dominio que es un cuerpo o satisface cualquiera, y por lo tanto las cinco (al ser equivalentes) de las condiciones de (DD1) a (DD5). Cuál de estas condiciones se toma como definición es, por lo tanto, meramente una cuestión arbitraria, aunque en la práctica, suele ser más fácil de verificar (DD4).
Un dominio de Krull es un análogo de dimensión superior de un dominio de Dedekind: un dominio de Dedekind que no es un cuerpo es un dominio de Krull de dimensión 1. Esta noción se puede utilizar para estudiar las diversas caracterizaciones de un dominio de Dedekind. De hecho, esta es la definición de un dominio de Dedekind utilizada en el "Álgebra conmutativa" de Bourbaki.
Un dominio de Dedekind también se puede caracterizar en términos de álgebra homológica: un dominio integral es un dominio de Dedekind si y solo si es un anillo hereditario; es decir, todo submódulo de un módulo proyectivo sobre él es proyectivo. De manera similar, un dominio integral es un dominio de Dedekind si y solo si todo módulo divisible sobre él es inyectivo.
Algunos ejemplos de dominios Dedekind
Todos los dominios ideales principales y, por lo tanto, todos los anillos de valoración discretos son dominios de Dedekind.
El anillo de los números enteros algebraicos en un cuerpo numérico K es noetheriano, integralmente cerrado y de dimensión uno: para ver la última propiedad, obsérvese que para cualquier ideal primo distinto de cero I de R, R/I es un conjunto finito, y recordando que un dominio integral finito es un cuerpo; entonces por (DD4) R es un dominio de Dedekind. Como anteriormente, esto incluye todos los ejemplos considerados por Kummer y Dedekind y fue el caso que motivó la definición general, y permanecen entre los ejemplos más estudiados.
La otra clase de anillos de Dedekind que podría decirse que tiene la misma importancia proviene de la geometría: sea C una integral geométrica no singular afín de una curva algebraica sobre un cuerpo k. Entonces el anillo de coordenadas k[C] de las funciones regulares en C es un dominio de Dedekind. Esto queda en gran parte claro simplemente al traducir términos geométricos al álgebra: el anillo de coordenadas de cualquier variedad afín es, por definición, un álgebra k generada finitamente, por lo tanto, noetheriana; además, curva significa dimensión uno y no singular implica (y, en dimensión uno, es equivalente a) normal, que por definición significa integralmente cerrado.
Ambas construcciones pueden verse como casos especiales del siguiente resultado básico:
Teorema: Sea R un dominio de Dedekind sobre el cuerpo de fracciones K. Sea L una extensión de cuerpos de K de grado finito y denótese con S el cierre integral de R en L. Entonces S es en sí mismo un dominio de Dedekind.Este teorema se deduce, por ejemplo, del teorema de Krull-Akizuki.
La aplicación de este teorema cuando R es en sí mismo un DIP brinda una forma de construir dominios de Dedekind a partir de un DIP. Tomando R= Z, esta construcción dice precisamente que los anillos de enteros de cuerpos numéricos son dominios de Dedekind. Tomando R= k[t], se obtiene el caso anterior de curvas afines no singulares como cubrimientos ramificados de la recta afín.
Zariski y Samuel estaban lo suficientemente entusiasmados con esta construcción como para preguntarse si todos los dominios de Dedekind surgen de ella; es decir, comenzando con un DIP y tomando el cierre integral en una extensión de cuerpo de grado finito.Zariski and Samuel, p. 284 L. Claborn dio una respuesta negativa sorprendentemente simple.Claborn 1965, Example 1-9
Si la situación es como la anterior pero la extensión L de K es algebraica de grado infinito, entonces todavía es posible que el cierre integral S de R en L' sea un dominio de Dedekind, pero no está garantizado. Por ejemplo, tómese de nuevo R= Z, K= Q y ahora tómese L como el cuerpo de todos los números algebraicos. El cierre entero no es más que el anillo de todos los números enteros algebraicos. Dado que la raíz cuadrada de un entero algebraico es nuevamente un entero algebraico, no es posible factorizar ningún entero algebraico no unitario distinto de cero en un producto finito de elementos irreducibles, lo que implica que ni siquiera es noetheriano. En general, la clausura entera de un dominio de Dedekind en una extensión algebraica infinita es un dominio de Prüfer, pero resulta que el anillo de enteros algebraicos es un poco más especial, y se trata de un dominio de Bézout.
Ideales fraccionarios y el grupo de clase Sea R un dominio integral con cuerpo fraccionario K. Un ideal fraccionario es un submódulo R distinto de cero I de K para el cual existe una x distinta de cero en K tal que
Dados dos ideales fraccionarios I y J, se define su producto IJ como el conjunto de todas las sumas finitas : el producto IJ es nuevamente un ideal fraccionario. El conjunto Frac(R) de todos los ideales fraccionarios dotados del producto anterior es un semigrupo conmutativo y de hecho un monoide: el elemento de identidad es el ideal fraccionario R.
Para cualquier ideal fraccionario I, se puede definir el ideal fraccionario
Entonces, tautológicamente se tiene que . De hecho se tiene igualdad si y solo si I, como elemento del monoide de Frac(R), es invertible. En otras palabras, si I tiene algún inverso, entonces el inverso debe ser .
Un ideal fraccional principal es uno de la forma para alguna x distinta de cero en K. Debe tenerse en cuenta que cada ideal fraccionario principal es invertible, por lo que el inverso de es simplemente . Ahora, se denota el subgrupo de los ideales fraccionarios principales por Prin(R).
Un dominio R es un DIP si y solo si todo ideal fraccionario es principal. En este caso, se tiene que Frac(R)= Prin(R)= , ya que dos ideales fraccionarios principales y son iguales si y solo si es una unidad en R.
Para un dominio general R, tiene sentido tomar el cociente del monoide Frac(R) de todos los ideales fraccionarios por el submonoide Prin(R) de los ideales fraccionarios principales. Sin embargo, este cociente en sí mismo es generalmente solo un monoide. De hecho, es fácil ver que la clase de un ideal fraccionario I en Frac(R)/Prin(R) es invertible si y solo si I mismo es invertible.