Las invariantes de Riemann son transformaciones matemáticas realizadas en un sistema de ecuaciones de conservación para facilitar su resolución. Las invariantes de Riemann son constantes a lo largo de las curvas características de las ecuaciones diferenciales parciales, de ahí que se denominen «invariantes». Fueron obtenidos por primera vez por Bernhard Riemann en su trabajo sobre ondas planas en dinámica de gases.

Teoría matemática Consideremos el conjunto de ecuaciones de conservación:

donde y son los elementos de las matrices y donde y son elementos de vectores. Se preguntará si es posible reescribir esta ecuación como

Para ello, se introducirán curvas en el plano definido por el campo vectorial . El término entre paréntesis se reescribirá en términos de una derivada total donde se parametrizan como

comparando las dos últimas ecuaciones encontramos

que ahora se puede escribir en forma característica

donde debemos tener las condiciones

donde puede eliminarse para obtener la condición necesaria

por lo que, para una solución no trivial, el determinante es

Para los invariantes de Riemann, nos interesa el caso en el que la matriz es una matriz identidad para formar

Obsérvese que es homogéneo debido a que el vector es cero. En forma característica, el sistema es con

Donde es el eigenvector izquierdo de la matriz y son las velocidades características de los eigenvalues de la matriz que satisfacen

Para simplificar estas ecuaciones características podemos hacer las transformaciones de tal manera que Se puede multiplicar un factor de integración para ayudar a integrar esto. Así, el sistema tiene ahora la forma característica en , que es equivalente al sistema diagonal

La solución de este sistema puede obtenerse mediante el método hodográfico generalizado.

Ejemplo Consideremos las ecuaciones de Euler unidimensionales escritas en términos de densidad y velocidad

donde es la velocidad del sonido introducida debido a la suposición isentrópica. Escribamos este sistema en forma matricial

donde la matriz del análisis anterior necesita encontrar los valores propios y los vectores propios. Se encuentra que los valores propios satisfacen

lo que da

y se encuentra que los vectores propios son

donde las invariantes de Riemann son

( y son las notaciones más utilizadas en dinámica de gases). Para gases perfectos con calores específicos constantes, existe la relación , donde es la relación de calor específico, que da los invariantes de RiemannZelʹdovich, I. B., & Raĭzer, I. P. (1966). Física de las ondas de choque y fenómenos hidrodinámicos a alta temperatura (Vol. 1). Academic Press.Courant, R., & Friedrichs, K. O. 1948 Flujo supersónico y ondas de choque. Nueva York: Interscience.

para obtener las ecuaciones

En otras palabras,

donde y son las curvas características. Esto se puede resolver mediante la transformación hodográfica. En el plano hodográfico, si todas las características se colapsan en una sola curva, obtenemos ondas simples. Si la forma matricial del sistema de ecuaciones diferenciales parciales es

entonces es posible multiplicar por la matriz inversa , siempre y cuando el determinante de la matriz no sea cero.

Véase también Onda simple Referencias

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