La analogía de la movilidad, también llamada analogía de la admitancia o analogía de Firestone, es un método para representar un sistema mecánico mediante un sistema eléctrico análogo. La ventaja de hacer esto es que existe un gran cuerpo de teoría y técnicas de análisis sobre sistemas eléctricos complejos, especialmente en el campo de los filtros.Talbot-Smith, pág. 1.86 Al convertir a una representación eléctrica, estas herramientas del dominio eléctrico pueden aplicarse directamente a un sistema mecánico sin modificaciones. Otra ventaja se da en los sistemas electromecánicos: La conversión de la parte mecánica de un sistema de este tipo al dominio eléctrico permite analizar todo el sistema como un todo unificado.
El comportamiento matemático del sistema eléctrico simulado es idéntico al comportamiento matemático del sistema mecánico representado. A cada elemento del dominio eléctrico le corresponde un elemento del dominio mecánico con una ecuación constitutiva análoga. Todas las leyes del análisis de circuitos, como las leyes de Kirchhoff, que se aplican en el dominio eléctrico también se aplican a la analogía de movilidad mecánica.
La analogía de la movilidad es una de las dos principales analogías mecánico-eléctricas utilizadas para representar sistemas mecánicos en el dominio eléctrico; la otra es la analogía de la impedancia. Los papeles de la tensión y la corriente se invierten en estos dos métodos, y las representaciones eléctricas producidas son los circuitos duales de cada uno. La analogía de la movilidad conserva la topología del sistema mecánico cuando se transfiere al dominio eléctrico, mientras que la analogía de la impedancia no. Por otra parte, la analogía de la impedancia conserva la analogía entre la impedancia eléctrica y la impedancia mecánica, mientras que la analogía de la movilidad no.
Aplicaciones La analogía de la movilidad se utiliza ampliamente para modelar el comportamiento de los filtros mecánicos. Se trata de filtros destinados a ser utilizados en un circuito electrónico, pero que funcionan enteramente por ondas vibratorias mecánicas. En la entrada y la salida del filtro se colocan transductores para convertir entre los dominios eléctrico y mecánico.Carr, págs. 170–171
Otro uso muy común es en el campo de los equipos de audio, como los altavoces. Los altavoces constan de un transductor y piezas mecánicas móviles. Las ondas acústicas en sí son ondas de movimiento mecánico: de moléculas de aire o de algún otro medio fluido.Eargle, págs. 5–8
Elementos Antes de desarrollar una analogía eléctrica de un sistema mecánico, hay que describirlo como una red mecánica abstracta. El sistema mecánico se descompone en una serie de elementos ideales, cada uno de los cuales puede asociarse a un análogo eléctrico.Kleiner, págs. 69–70 Los símbolos utilizados para estos elementos mecánicos en los diagramas de red se muestran en las siguientes secciones sobre cada elemento individual.
Los análogos mecánicos de los elementos eléctricos también son elementos de bulto, es decir, se supone que el componente mecánico que posee el elemento es lo suficientemente pequeño como para que pueda despreciarse el tiempo que tardan las ondas mecánicas en propagarse de un extremo al otro del componente. Las analogías también pueden desarrollarse para elementos distribuidos, como las líneas de transmisión, pero las mayores ventajas se obtienen con los circuitos de elementos fijos. Se necesitan analogías mecánicas para los tres elementos eléctricos pasivos: resistencia, inductancia y capacitancia.Busch-Vishniac, págs. 18–20 En la analogía de la movilidad, el análogo del voltaje es la velocidad y el análogo de la corriente es la fuerza.Eargle, pág. 5 La impedancia mecánica se define como la relación entre la fuerza y la velocidad, por lo que no es análoga a la impedancia eléctrica. Más bien, es el análogo de la admitancia eléctrica, la inversa de la impedancia. La admitancia mecánica se denomina más comúnmente movilidad,Fahy & Gardonio, p. 71 de ahí el nombre de la analogía.Busch-Vishniac, p. 19
Resistencia miniaturadeimagen|El símbolo mecánico de un amortiguador (izquierda) y su analogía eléctrica (derecha).Eargle, p. 4 El símbolo pretende evocar un amortiguador.Kleiner, p. 71 La analogía mecánica de la resistencia eléctrica es la pérdida de energía de un sistema en movimiento a través de procesos como la fricción. Un componente mecánico análogo a una resistencia es un amortiguador y la propiedad análoga a la resistencia inversa (conductancia) es la amortiguación (inversa, porque la impedancia eléctrica es la analogía de la inversa de la impedancia mecánica). Una resistencia se rige por la ecuación constitutiva de la ley de Ohm,
La ecuación análoga en el ámbito mecánico es,
donde,
G = 1/R es conductancia
R es resistencia
v es voltaje
i es corriente
Rm es resistencia mecánica, o amortiguamiento
F es fuerza
u es velocidad inducida por la fuerza.Kleiner, p. 71
La conductancia eléctrica representa la parte real de la admitancia eléctrica. Del mismo modo, la resistencia mecánica es la parte real de la impedancia mecánica.Atkins & Escudier, p. 216
Inductancia miniaturadeimagen|El símbolo mecánico de un elemento de conformidad (izquierda) y su analogía eléctrica (derecha).Eargle, p. 5 El símbolo pretende evocar un muelle.Kleiner, p. 73 La analogía mecánica de la inductancia en la analogía de la movilidad es la conformidad. En mecánica es más común hablar de rigidez, la inversa de la conformidad. Un componente mecánico análogo a un inductor es un muelle. Un inductor se rige por la ecuación constitutiva,
La ecuación análoga en el ámbito mecánico es una forma de la ley de Hooke,
donde,
L es la inductancia
t es el tiempo
Cm = 1/S es la conformidad mecánica
S es la rigidezSmith, p. 1651
La admitancia mecánica análoga viene dada por,
donde,
Z es la impedancia eléctrica
j es la unidad imaginaria
ω es la frecuencia angular
Ym es la admitancia mecánica.Kleiner, pp. 73–74
Capacitancia miniaturadeimagen|Símbolo mecánico de una masa (izquierda) y su analogía eléctrica (derecha). El ángulo cuadrado bajo la masa indica que el movimiento de la masa es relativo a un sistema de referencia.Kleiner, p. 74 La analogía mecánica de la capacitancia en la analogía de la movilidad es la masa. Un componente mecánico análogo a un condensador es un peso grande y rígido o un Inerter mecánico.
Un condensador se rige por la ecuación constitutiva,
La ecuación análoga en el ámbito mecánico es la segunda ley del movimiento de Newton,
donde,
C es la capacidad
M es la masa
La impedancia de un condensador es puramente imaginaria y viene dada por,
La admitancia mecánica análoga viene dada por,
Kleiner, pp. 72–73
Inercia La masa como analogía de un elemento eléctrico plantea una curiosa dificultad. Está relacionada con el hecho de que, en los sistemas mecánicos, la velocidad de la masa (y, lo que es más importante, su aceleración) siempre se mide con respecto a algún sistema de referencia fijo, normalmente la Tierra. Considerada como un elemento de sistema de dos terminales, la masa tiene un terminal a velocidad “'u”', análogo al potencial eléctrico. El otro terminal está a velocidad cero y es análogo al potencial eléctrico de tierra. Por lo tanto, la masa no puede utilizarse como el análogo de un condensador sin conexión a tierra.Busch-Vishniac, p. 20
Esto llevó a Malcolm C. Smith, de la Universidad de Cambridge, a definir en 2002 un nuevo elemento de almacenamiento de energía para redes mecánicas denominado inercia. Un componente que posee inercia se denomina inertizador. Los dos terminales de un inertizador, a diferencia de una masa, pueden tener dos velocidades y aceleraciones diferentes y arbitrarias. La ecuación constitutiva de un inertizador viene dada por,Smith, pp. 1649–1650
donde,
F es una fuerza igual y opuesta aplicada a los dos terminales
B es la inercia
u1 y u2 son las velocidades en los terminales 1 y 2 respectivamente
Δu = u2 - u1
La inercia tiene las mismas unidades que la masa (kilogramos en el sistema SI) y el nombre indica su relación con la inercia. Smith no se limitó a definir un elemento teórico de la red, sino que también sugirió una construcción para un componente mecánico real y fabricó un pequeño prototipo. El inertizador de Smith consiste en un émbolo capaz de deslizarse dentro o fuera de un cilindro. El émbolo está conectado a un engranaje de piñón y cremallera que acciona un volante de inercia dentro del cilindro. Puede haber dos volantes de inercia contrarrotantes para evitar que se desarrolle un par de torsión. La energía suministrada al empujar el émbolo hacia dentro se devuelve cuando el émbolo se mueve en la dirección opuesta, por lo que el dispositivo almacena energía en lugar de disiparla como un bloque de masa. Sin embargo, la masa real del inerter puede ser muy pequeña, un inerter ideal no tiene masa. Dos puntos del inertizador, el émbolo y la caja del cilindro, pueden conectarse independientemente a otras partes del sistema mecánico sin que ninguno de ellos esté necesariamente conectado a tierra.Smith, pp. 1650–1651
El inerter de Smith ha encontrado una aplicación en las carreras de Fórmula 1, donde se conoce como J-damper. Se utiliza como alternativa al ahora prohibido amortiguador de masa sintonizada y forma parte de la suspensión del vehículo. Es posible que McLaren lo utilizara por primera vez en secreto en 2005 tras una colaboración con Smith. Ahora se cree que otros equipos lo utilizan. El inerter es mucho más pequeño que el amortiguador de masa sintonizada y suaviza las variaciones de carga de la zona de contacto de los neumáticos.De Groote Smith también sugiere utilizar el inerter para reducir las vibraciones de la máquina.Smith, p. 1661
La dificultad de la masa en las analogías mecánicas no se limita a la analogía de la movilidad. También se da el mismo problema en la analogía de la impedancia, pero en este caso se trata de inductores sin conexión a tierra, en lugar de condensadores, que no pueden representarse con los elementos estándar.Smith, p. 1649
Resonador Un resonador mecánico consta de un elemento de masa y un elemento de conformidad. Los resonadores mecánicos son análogos a los circuitos eléctricos LC que consisten en inductancia y capacitancia. Los componentes mecánicos reales tienen inevitablemente masa y conformidad, por lo que resulta práctico fabricar resonadores como un único componente. De hecho, es más difícil fabricar una masa pura o una conformidad pura como componente único. Se puede fabricar un muelle con una cierta elasticidad y minimizar la masa, o una masa con una elasticidad minimizada, pero ninguno de los dos puede eliminarse por completo. Los resonadores mecánicos son un componente clave de los filtros mecánicos.Taylor & Huang, pp. 377–383
Generadores miniaturadeimagen|Símbolo mecánico de un generador de velocidad constante (izquierda) y su analogía eléctrica (derecha).Kleiner, p. 77
Beranek & Mellow, p. 70 Existen análogos para los elementos eléctricos activos de la fuente de tensión y la fuente de corriente (generadores). El análogo mecánico en la analogía de movilidad del generador de corriente constante es el generador de fuerza constante. El análogo mecánico del generador de tensión constante es el generador de velocidad constante.Kleiner, pp. 76–77
Un ejemplo de generador de fuerza constante es el muelle de fuerza constante. Un ejemplo práctico de generador de velocidad constante es una máquina potente ligeramente cargada, como un motor, que acciona una correa. Esto es análogo a una fuente de tensión real, como una batería, que permanece casi a tensión constante con carga siempre que la resistencia de carga sea mucho mayor que la resistencia interna de la batería.Kleiner, p. 77
Transductores miniaturadeimagen|Símbolo mecánico de un generador de fuerza constante (izquierda) y su analogía eléctrica (derecha).Kleiner, p. 76
Beranek & Mellow, p. 70