miniaturadeimagen| Patrón de simetría de una matriz centrosimétrica 5 × 5 En matemáticas, especialmente en álgebra lineal y teoría de matrices, una matriz centrosimétrica es una matriz cuadrada que es punto-simétrica respecto de su centro. Las matrices centrosimétricas aparecen, entre otras cosas, en la solución numérica de ciertas ecuaciones diferenciales y en la investigación de procesos de Markov.
Definición formal Una matriz es centrosimétrica cuando sus entradas satisfacen:
Alternativamente, si denota la matriz de intercambio con 1 en la antidiagonal y 0 en el resto: entonces una matriz es centrosimétrica si y sólo si .
Ejemplos Las matrices 2 × 2 centrosimétricas tienen la forma Las matrices 3 × 3 centrosimétricas tienen la forma Las matrices 4 × 4 centrosimétricas tienen la forma Las matrices de Toeplitz simétricas son centrosimétricas.
Estructura y propiedades algebraicas Si y son matrices centrosimétricas sobre un cuerpo , entonces también lo son y para cualquier en . Además, el producto matricial es centrosimétrico, ya que . Como la matriz identidad también es centrosimétrica, se deduce que el conjunto de matrices centrosimétricas sobre forman una subálgebra del álgebra asociativa de todas las matrices . Si es una matriz centrosimétrica con una base propia de dimensión , entonces sus vectores propios pueden elegirse de manera que satisfagan o donde es la matriz de intercambio. Si es una matriz centrosimétrica con valores propios distintos, entonces las matrices que conmutan con deben ser centrosimétricas. El número máximo de elementos únicos en una matriz centrosimétrica es
Estructuras relacionadas Una matriz se dice que es anticentrosimétrica si sus entradas satisfacen De manera equivalente, es anticentrosimétrica si , donde es la matriz de intercambio definida previamente.
La relación centrosimétrica se presta a una generalización natural, donde se reemplaza con una matriz involutiva (es decir, ) o, más generalmente, una matriz que satisface para un entero . También se ha estudiado el problema inverso para la relación de conmutación de identificar todos involutivos que conmutan con una matriz fija .
Las matrices centrosimétricas simétricas a veces se denominan matrices bisimétricas. Cuando el campo fundamental son los números reales, se ha demostrado que las matrices bisimétricas son precisamente aquellas matrices simétricas cuyos valores propios permanecen iguales independientemente de los posibles cambios de signo después de la pre o post multiplicación por la matriz de intercambio. Un resultado similar se aplica a matrices centrosimétricas hermíticas y anticentrosimétricas.
Referencias
Lectura adicional
Enlaces externos Matriz centrosimétrica en MathWorld .
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