miniaturadeimagen|El teselado triangular regular del plano, cuyas simetrías están descritas por el grupo simétrico afín . Los grupos simétricos afines son una familia de estructuras matemáticas que describen las simetrías de la recta numérica y del teselado triangular regular del plano, así como de otros objetos de dimensiones superiores. Además de esta interpretación geométrica, los grupos simétricos afines pueden definirse de otras maneras: como colecciones de permutaciones (reordenamientos) de los enteros () que son periódicas en cierto sentido, o en términos puramente algebraicos como un grupo con ciertos generadores y relaciones. Estos grupos son objeto de estudio en combinatoria y teoría de representación.
Un grupo simétrico finito está formado por todas las permutaciones de un conjunto finito. Cada grupo simétrico afín es una extensión infinita de un grupo simétrico finito. Muchas propiedades combinatorias importantes de los grupos simétricos finitos pueden extenderse a los correspondientes grupos simétricos afines. Las estadísticas de permutaciones, como los descensos y las inversiones, pueden definirse en el caso afín. Al igual que en el caso finito, las definiciones combinatorias naturales de estas estadísticas también tienen una interpretación geométrica.
Los grupos simétricos afines están estrechamente relacionados con otros objetos matemáticos, incluyendo los patrones de malabarismo y ciertos grupos de reflexión complejos. Muchas de sus propiedades combinatorias y geométricas se extienden a la familia más amplia de los grupos de Coxeter afines.
Definiciones El grupo simétrico afín puede definirse de manera equivalente como un grupo abstracto mediante generadores y relaciones, o en términos de modelos geométricos y combinatorios.
Definición algebraica miniaturadeimagen|Diagramas de Dynkin para los grupos simétricos finitos con 2 y más de 2 generadores. Una forma de definir grupos es mediante generadores y relaciones. En este tipo de definición, los generadores son un subconjunto de los elementos del grupo que, al combinarse, producen todos los demás elementos. Las relaciones son un sistema de ecuaciones que determinan cuándo dos combinaciones de generadores son iguales. De esta manera, el grupo simétrico afín está generado por un conjunto de elementos que satisfacen las siguientes relaciones cuando :
(los generadores son involuciones).
si no es uno de , lo que indica que para estos pares de generadores, la operación del grupo es conmutativa; y,
En las relaciones anteriores, los índices se toman módulo , por lo que la tercera relación incluye el caso particular. (Las segunda y tercera relaciones se conocen como grupo de trenzas).Cuando , el grupo simétrico afín es el grupo diedral infinito, generado por dos elementos sujetos únicamente a las relaciones .
Estas relaciones pueden reescribirse en la forma especial que define los grupos de Coxeter, por lo que los grupos simétricos afines son grupos de Coxeter, con los como sus conjuntos de generadores de Coxeter. Cada grupo de Coxeter puede representarse mediante un diagrama de Coxeter–Dynkin, en el cual los vértices corresponden a los generadores y las aristas codifican las relaciones entre ellos. Para , el diagrama de Coxeter–Dynkin de es un ciclo de vértices (las aristas representan relaciones entre pares de generadores consecutivos y la ausencia de una arista entre otros pares indica que conmutan). Por otro lado, para , el diagrama consiste en dos nodos unidos por una arista etiquetada con .
Definición geométrica miniaturadeimagen|Cuando , el espacio es un plano bidimensional y las reflexiones se realizan a lo largo de líneas. Los puntos de la red de raíces están marcados con círculos. En el espacio euclidiano con coordenadas , el conjunto de puntos que cumplen forma un (hiper)plano, un subespacio de dimensión . Para cada par de elementos distintos y de y cada número entero , el conjunto de puntos en que satisface forma un subespacio de dimensión dentro de , y existe una única reflexión en que fija este subespacio. Entonces, el grupo simétrico afín puede ser representado geométricamente como una colección de transformaciones de en sí mismo, obtenidas como composiciones de estas reflexiones.
Dentro de , el subconjunto de puntos con coordenadas enteras forma la red de raíces . Este es el conjunto de todos los vectores enteros tales que . Cada reflexión preserva esta red, y por lo tanto, la red es preservada por todo el grupo.
Los subespacios fijos de estas reflexiones dividen en símplices congruentes, llamados alcobas. El caso cuando se muestra en la figura; en este caso, la red de raíces es una red triangular, las líneas de reflexión dividen en alcobas triangulares equiláteras, y las raíces son los centros de hexágonos no superpuestos formados por seis alcohes triangulares. miniaturadeimagen|Reflexiones y alcobas para el grupo simétrico finitos. La alcoba fundamental está sombreada. Para traducir entre las definiciones geométrica y algebraica, se fija una alcoba y se consideran los hiperplanos que forman su frontera. Las reflexiones a través de estos hiperplanos de frontera pueden identificarse con los generadores de Coxeter. En particular, hay una única alcoba (la alcoba fundamental) formado por los puntos tales que , el cual está limitado por los hiperplanos ... y como se ilustra en el caso . Para , se puede identificar la reflexión a través de con el generador de Coxeter , y también identificar la reflexión a través de con el generador .
Definición combinatoria Los elementos del grupo simétrico afín pueden representarse como un grupo de permutaciones periódicas de los números enteros. En particular, se dice que una función es una permutación afín si:
es una biyección (cada número entero aparece como el valor de para exactamente un ).
para todo número entero (equivarianza con respecto a traslaciones en ).
, el -ésimo número triangular.
Para toda permutación afín, y más generalmente para toda biyección equivariante bajo traslaciones, los números deben ser todos distintos módulo . Una permutación afín queda determinada de manera única por su notación de ventana , ya que los demás valores de pueden obtenerse desplazando estos valores. Por lo tanto, las permutaciones afines pueden identificarse con tuplas de números enteros que contienen un elemento de cada clase de congruencia módulo y cuya suma es .
Para la traslación entre las definiciones combinatoria y algebraica, para , se puede identificar el generador de Coxeter con la permutación afín que tiene una notación de ventana y también identificar el generador con la permutación afín . Más generalmente, toda reflexión (es decir, un conjugado de uno de los generadores de Coxeter) puede describirse de manera única como sigue: para dos enteros distintos y en y un número entero arbitrario , mapea de a − , mapea de a + y fija todos los valores que no sean congruentes con el módulo de o .
Representación como matrices miniaturadeimagen|La representación matricial de la permutación afín [2, 0, 4], con la convención de que los 1s son reemplazados por • y los 0s se omiten. Se muestran las etiquetas de las filas y columnas. Las permutaciones afines pueden representarse como matrices de permutación infinitas y periódicas. Si es una permutación afín, la matriz correspondiente tiene un 1 en la posición en la rejilla infinita para cada número entero , y todas las demás entradas son 0. Como es una biyección, la matriz resultante contiene exactamente un 1 en cada fila y columna. La condición de periodicidad sobre garantiza que la entrada en la posición es igual a la entrada en la posición para todo par de enteros .
Por ejemplo, una porción de la matriz para la permutación afín se muestra en la figura. En la fila 1, hay un 1 en la columna 2; en la fila 2, hay un 1 en la columna 0; y en la fila 3, hay un 1 en la columna 4. El resto de las entradas en esas filas y columnas son 0, y todas las demás entradas en la matriz quedan determinadas por la condición de periodicidad.
Relación con el grupo simétrico finito El grupo simétrico afín contiene al grupo simétrico finito de permutaciones en elementos tanto como un subgrupo como un grupo cociente. Estas conexiones permiten una traslación directa entre las definiciones combinatorias y geométricas del grupo simétrico afín.
Como subgrupo Existe una forma canónica de elegir un subgrupo de que sea isomorfo al grupo simétrico finito . En términos de la definición algebraica, este es el subgrupo de generado por (excluyendo la reflexión simple ). Geométricamente, esto corresponde al subgrupo de transformaciones que fijan el origen, mientras que combinatoriamente corresponde a las notaciones de ventana para (es decir, en las que la notación de ventana es la notación de una línea de una permutación finita).
Si es la notación de ventana de un elemento de esta copia estándar de , su acción en el hiperplano en está dada por la permutación de coordenadas: . (En este artículo, la acción geométrica de permutaciones y permutaciones afines se considera a la derecha; por lo tanto, si y son dos permutaciones afines, la acción de sobre un punto se obtiene aplicando primero y luego ).
También hay muchas copias no estándar de contenidas en . Una construcción geométrica consiste en elegir cualquier punto en (es decir, un vector entero cuyas coordenadas suman 0); el subgrupo de de isometrías que fijan es isomorfo a .
Como cociente Existe una aplicación sencilla (técnicamente, un homomorfismo de grupos sobreyectivos) de sobre el grupo simétrico finito . En términos de la definición combinatoria, una permutación afín puede mapearse a una permutación reduciendo las entradas de la notación de ventana módulo a elementos del conjunto , dejando así la notación de una línea de una permutación. En este artículo, la imagen de una permutación afín se llama la permutación subyacente de .
La aplicación envía el generador de Coxeter a la permutación cuya notación de una línea y notación de ciclos son, respectivamente, y .
El kernel de es, por definición, el conjunto de permutaciones afines cuya permutación subyacente es la identidad. Las notaciones de ventana de tales permutaciones afines son de la forma , donde es un vector de enteros tal que , es decir, donde . Geométricamente, este kernel consiste en las traslaciones, es decir, las isometrías que desplazan todo el espacio sin rotarlo ni reflejarlo. Por abuso de notación, el símbolo se usa en este artículo para los tres conjuntos siguientes: los vectores enteros en , las permutaciones afines cuya permutación subyacente es la identidad y las traslaciones. En los tres contextos, la operación natural de grupo convierte a en un grupo abeliano, generado libremente por los vectores .
Conexión entre las definiciones geométrica y combinatoria miniaturadeimagen|Alcobas para etiquetadas por permutaciones afines. Una alcoba está etiquetada con la notación de ventana de una permutación si envía la alcoba fundamental (sombreada) a . Los números negativos se denotan con una barra superior. El grupo simétrico afín tiene a como un subgrupo normal y es isomorfo al producto semidirecto de este subgrupo con el grupo simétrico finito , donde la acción de sobre es mediante permutación de coordenadas. En consecuencia, cada elemento de tiene una realización única como un producto , donde es una permutación en la copia estándar de dentro de y es una traslación en .