En matemáticas aplicadas, el análisis topológico de los datos (en inglés: topological data analysis) (TDA) es un enfoque el análisis de conjuntos de datos que utiliza técnicas de topología. La extracción de información de conjuntos de datos de alta dimensión, incompletos y ruidosos suele ser un desafío, sin embargo, el análisis topológico de los datos proporciona un marco general para analizar dichos datos de una manera que no es sensible a la métrica particular elegida y proporciona reducción de dimensionalidad y robustez al ruido. Más allá de esto, hereda la funtorialidad, un concepto fundamental de las matemáticas modernas, de su naturaleza topológica, lo que le permite adaptarse a nuevas herramientas matemáticas.

La motivación inicial del análisis topológico de los datos es estudiar la forma de los datos es combinar la topología algebraica y otras herramientas de las matemáticas puras para permitir un estudio matemáticamente riguroso de la "forma". La herramienta principal es la homología persistente, una adaptación de la homología a los datos de la nube de puntos. La homología persistente se ha aplicado a muchos tipos de datos en muchos campos. Además, su fundamento matemático también tiene importancia teórica. Las características únicas del análisis topológico de los datos lo convierten en un puente prometedor entre la topología y la geometría.

Teoría básica

Intuición TDA se basa en la idea de que la forma de los conjuntos de datos contiene información relevante. Los datos reales de alta dimensión suelen ser escasos y tienden a tener características relevantes de baja dimensión. Una tarea del TDA es proporcionar una caracterización precisa de este hecho. Por ejemplo, la trayectoria de un sistema simple depredador-presa regido por las ecuaciones de Lotka-Volterra forma un círculo cerrado en el espacio de estados. TDA proporciona herramientas para detectar y cuantificar dicho movimiento recurrente.

Muchos algoritmos para el análisis de datos, incluidos los utilizados en TDA, requieren la configuración de varios parámetros. Sin un conocimiento previo del dominio, es difícil elegir la recopilación correcta de parámetros para un conjunto de datos. La idea principal de la homología persistente es utilizar la información obtenida de todos los valores de los parámetros codificando esta enorme cantidad de información en una forma comprensible y fácil de representar. Con TDA, existe una interpretación matemática cuando la información es un grupo de homología. En general, se supone que las características que persisten para una amplia gama de parámetros son características "verdaderas". Se supone que las características que persisten solo para un rango estrecho de parámetros son ruido, aunque la justificación teórica para esto no está clara.

Historia temprana Los precursores del concepto completo de homología persistente aparecieron gradualmente con el tiempo. En 1990, Patrizio Frosini introdujo una pseudodistancia entre subvariedades, y posteriormente la función de tamaño, que en curvas 1-dim es equivalente a la homología persistente 0. Casi una década después, Vanessa Robins estudió las imágenes de homomorfismos inducidos por inclusión. Finalmente, poco después, Herbert Edelsbrunner et al. introdujeron el concepto de homología persistente junto con un algoritmo eficiente y su visualización como un diagrama de persistencia. Gunnar Carlsson et al. reformularon la definición inicial y dieron un método de visualización equivalente llamado códigos de barras de persistencia, interpretando la persistencia en el lenguaje del álgebra conmutativa.

En topología algebraica, la homología persistente surgió a través del trabajo de Sergey Barannikov sobre la teoría de Morse. El conjunto de valores críticos de la función Morse suave se dividió canónicamente en pares "nacimiento-muerte", los complejos filtrados se clasificaron, sus invariantes, equivalentes al diagrama de persistencia y los códigos de barras de persistencia, junto con el algoritmo eficiente para su cálculo, fueron descritos bajo el nombre de formas canónicas en 1994 por Barannikov.

Conceptos A continuación se presentan algunos conceptos ampliamente utilizados. Tenga en cuenta que algunas definiciones pueden variar de un autor a otro.

Una nube de puntos a menudo se define como un conjunto finito de puntos en algún espacio euclidiano, pero puede considerarse cualquier espacio métrico finito.

El complejo de Čech de una nube de puntos es el nervio de la cubierta de bolas de un radio fijo alrededor de cada punto de la nube.

Un módulo de persistencia indexado por es un espacio vectorial Para cada uno , y un mapa lineal cuando sea , de tal manera que a pesar de y cuando sea Una definición equivalente es un funtor de considerado como un conjunto parcialmente ordenado en la categoría de espacios vectoriales.

El grupo de homología persistente de una nube de puntos es el módulo de persistencia definido como , dónde es el complejo de Čech de radio de la nube de puntos y es el grupo de homología.

Un código de barras de persistencia es un conjunto múltiple de intervalos en , y un diagrama de persistencia es un conjunto múltiple de puntos en ().

La distancia de Wasserstein entre dos diagramas de persistencia y se define como dónde y rangos sobre biyecciones entre y . Consulte la figura 3.1 en Munch para obtener una ilustración.

La distancia de cuello de botella entre y es Este es un caso especial de la distancia de Wasserstein, siendo .

Propiedad básica

Teorema de estructura El primer teorema de clasificación para homología persistente apareció en 1994 a través de las formas canónicas de Barannikov. El teorema de clasificación que interpreta la persistencia en el lenguaje del álgebra conmutativa apareció en 2005: para un módulo de persistencia generado finitamente con campo coeficientes, Intuitivamente, las partes libres corresponden a los generadores de homología que aparecen a nivel de filtración. y nunca desaparecen, mientras que las partes de torsión corresponden a las que aparecen a nivel de filtración. y por último pasos de la filtración (o equivalentemente, desaparecen en el nivel de filtración) ).

La homología persistente se visualiza a través de un código de barras o un diagrama de persistencia. El código de barras tiene su raíz en las matemáticas abstractas. Es decir, la categoría de complejos filtrados finitos sobre un campo es semi-simple. Cualquier complejo filtrado es isomorfo a su forma canónica, una suma directa de complejos filtrados simples unidimensionales y bidimensionales.

Estabilidad La estabilidad es deseable porque proporciona robustez frente al ruido. Si es cualquier espacio que es homeomorfo a un complejo simplicial, y son funciones continuas domesticadas, entonces los espacios vectoriales de persistencia y se presentan de forma finita y , dónde se refiere a la distancia del cuello de botella y ¿El mapa lleva una función domesticada continua al diagrama de persistencia de su -ésima homología.

Flujo de trabajo El flujo de trabajo básico en TDA es: nube de puntos complejos anidados módulo de persistencia código de barras o diagrama

Si es una nube de puntos, reemplace con una familia anidada de complejos simpliciales (como el complejo Čech o Vietoris-Rips). Este proceso convierte la nube de puntos en una filtración de complejos simples. Tomando la homología de cada complejo en esta filtración se obtiene un módulo de persistencia. Aplicar el teorema de estructura para obtener los números de Betti persistentes, diagrama de persistencia o, equivalentemente, código de barras.

Gráficamente hablando, centro|miniaturadeimagen|488x488px| Un uso habitual de la persistencia en TDA

Cálculo El primer algoritmo sobre todos los campos para homología persistente en un entorno de topología algebraica fue descrito por Barannikov a través de la reducción a la forma canónica mediante matrices triangulares superiores. El algoritmo para la homología persistente sobre Fue proporcionado por Edelsbrunner et al. Afra Zomorodian y Carlsson proporcionaron el algoritmo práctico para calcular la homología persistente en todos los campos. El libro de Edelsbrunner y Harer ofrece una guía general sobre topología computacional.

Un problema que surge en la computación es la elección de lo complejo. El complejo Čech y el complejo Vietoris–Rips son los más naturales a primera vista; sin embargo, su tamaño crece rápidamente con el número de puntos de datos. Se prefiere el complejo de Vietoris-Rips al complejo de Čech porque su definición es más simple y el complejo de Čech requiere un esfuerzo adicional para definirlo en un espacio métrico finito general. Se han estudiado formas eficientes de reducir el coste computacional de la homología. Por ejemplo, el complejo α y el complejo testigo se utilizan para reducir la dimensión y el tamaño de los complejos.

Recientemente, la teoría de Morse discreta ha demostrado ser prometedora para la homología computacional porque puede reducir un complejo simplicial dado a un complejo celular mucho más pequeño que es homotópico al original. De hecho, esta reducción se puede realizar a medida que se construye el complejo utilizando la teoría de matroides, lo que conduce a mayores aumentos del rendimiento. Otro algoritmo reciente ahorra tiempo al ignorar las clases de homología con baja persistencia.

Hay varios paquetes de software disponibles, como javaPlex, Dionysus, Perseus, PHAT, DIPHA, GUDHI, Ripser y TDAstats. Otter et al. realizan una comparación entre estas herramientas. Giotto-tda es un paquete de Python dedicado a integrar TDA en el flujo de trabajo de aprendizaje automático mediante una API scikit-learn . Un paquete R TDA es capaz de calcular conceptos recientemente inventados como el paisaje y el estimador de distancia del núcleo. El Topology ToolKit está especializado en datos continuos definidos en variedades de baja dimensión (1, 2 o 3), como los que normalmente se encuentran en la visualización científica. Cubicle está optimizado para datos de imágenes en escala de grises grandes (escala de gigabytes) en dimensión 1, 2 o 3 utilizando complejos cúbicos y teoría de Morse discreta. Otro paquete R, TDAstats, utiliza la biblioteca Ripser para calcular la homología persistente.

Visualización Es imposible visualizar datos de alta dimensión directamente. Se han inventado muchos métodos para extraer una estructura de baja dimensión del conjunto de datos, como el análisis de componentes principales y el escalamiento multidimensional. Sin embargo, es importante señalar que el problema en sí está mal planteado, ya que se pueden encontrar muchas características topológicas diferentes en el mismo conjunto de datos. Por lo tanto, el estudio de la visualización de espacios de alta dimensión es de importancia central para TDA, aunque no implica necesariamente el uso de homología persistente. Sin embargo, recientemente se han realizado intentos de utilizar la homología persistente en la visualización de datos.

Carlsson et al. han propuesto un método general llamado MAPPER. Hereda la idea de Jean-Pierre Serre de que una cubierta preserva la homotopía. Una formulación generalizada de MAPPER es la siguiente:

Dejar y sean espacios topológicos y sean ser un mapa continuo. Dejar ser una cubierta abierta finita de . La salida de MAPPER es el nervio de la cubierta de retroceso. , donde cada preimagen se divide en sus componentes conectados. Este es un concepto muy general, del cual el gráfico de Reeb y los árboles de fusión son casos especiales.