Un tensor de dos puntos (o también vector doble), es un elemento similar a un tensor que se transforman como un vector con respecto a cada uno de sus índices. Se utiliza en mecánica de medios continuos para pasar desde las coordenadas de referencia iniciales ("material") a las coordenadas del estado del sólido en un momento dado ("configuración").Humphrey, Jay D. Cardiovascular solid mechanics: cells, tissues, and organs. Springer Verlag, 2002. Ejemplos de su utilización incluyen la teoría de la deformación finita y el primer tensor de tensión de Piola-Kirchhoff.
Como ocurre con muchas aplicaciones tensoriales se les suele aplicar el convenio de suma de Einstein. Para aclarar su notación, a menudo se utilizan índices con letras mayúsculas para indicar las coordenadas de referencia y con letras minúsculas para las coordenadas de estado. Por lo tanto, un tensor de dos puntos tendrá un índice en mayúscula y otro en minúscula; por ejemplo, AjM.
Mecánica continua Un tensor convencional puede verse como una transformación de vectores en un sistema de coordenadas a otros vectores en el mismo sistema de coordenadas. Por el contrario, un tensor de dos puntos transforma vectores de un sistema de coordenadas a otro sistema de coordenadas. Es decir, un tensor convencional
,
de forma que se transforma activamente un vector u en un vector v tal que
donde v y u se miden en el mismo espacio y su representación de coordenadas es con respecto a la misma base (denotada por la "e").
Por el contrario, un tensor de dos puntos, G, se escribe como
y transforma un vector, U definido en el sistema E, en un vector, v definido en el sistema e como .
Ley de transformación de un tensor de dos puntos Supóngase que se tienen dos sistemas de coordenadas, uno denotado con una comilla y el otro no, y las componentes de un vector se transforman entre ellos como
.
Para tensores, supóngase que se tiene que
.
un tensor en el sistema . En otro sistema, sea el mismo tensor dado por
.
Se puede decir que
.
Entonces
es la transformación tensorial habitual. Pero un tensor de dos puntos entre estos sistemas es simplemente
que se transforma como
.
Ejemplo El ejemplo más sencilla de un tensor de dos puntos es el tensor de transformación, el Q en el párrafo anterior. Teniendo en cuenta que
.
Ahora, escribiendo en su totalidad,
y también
.
Esto entonces requiere que Q tenga la forma
.
Por definición de producto tensorial,
Entonces se puede escribir
De este modo
Incorporando (), se obtiene que
.
Véase también Tensor mixto Covarianza y contravarianza
Referencias
Enlaces externos Fundamentos matemáticos de la elasticidad Por Jerrold E. Marsden, Thomas J. R. Hughes Tensores de dos puntos en iMechanica
Categoría:Cálculo tensorial Categoría:Geometría euclidiana