En un campo tensorial, un tensor mixto es aquel tensor que no es ni estrictamente covariante ni estrictamente contravariante; es decir, al menos uno de sus índices será un subíndice (covariante) y al menos uno de sus índices será un superíndice (contravariante).
Un tensor mixto de tipo o valencia , también escrito "tipo (M, N)", con ambos M > 0 y N > 0, es un tensor que tiene M índices contravariantes y N índices covariantes. Un tensor de este tipo puede definirse como una función lineal que asigna una tupla (M + N) de M 1-formas y N vectores a un escalar.
Cambio del tipo de tensor
Considérese el siguiente octeto de tensores relacionados:
El primero es covariante, el último es contravariante y los restantes mixtos. Notablemente, estos tensores se diferencian entre sí por la covarianza/contravarianza de sus índices. Un índice contravariante dado de un tensor se puede reducir usando el tensor métrico , y un índice covariante dado se puede aumentar usando el tensor métrico inverso . Por lo tanto, podría denominarse "operador de reducción del índice" y "operador de elevación del índice".
Generalmente, el tensor métrico covariante, contraído con un tensor de tipo (M, N), produce un tensor de tipo (M − 1, N + 1), mientras que su inversa contravariante, contraída con un tensor de tipo (M, N), produce un tensor de tipo (M + 1, N − 1).
Ejemplos Como ejemplo, se puede obtener un tensor mixto de tipo (1, 2) elevando un índice de un tensor covariante de tipo (0, 3),
donde es el mismo tensor que , porque
Kronecker actúa aquí como una matriz de identidad.
Asimismo,
Elevar un índice del tensor métrico equivale a contraerlo con su inverso, obteniendo la delta de Kronecker,
por lo que cualquier versión mixta del tensor métrico será igual a la delta de Kronecker, que también será mixta.
Véase también Covarianza y contravarianza Convenio de suma de Einstein Cálculo de Ricci Tensor (definición intrínseca) Tensor de dos puntos
Referencias
Bibliografía
Enlaces externos Índice de gimnasia, Wolfram Alpha
Categoría:Cálculo tensorial