En mecánica de medios continuos, la teoría de la deformación finita, también llamada teoría de grandes deformaciones analiza el comportamiento de los sólidos frente a deformaciones y/o rotaciones lo suficientemente grandes como para invalidar los supuestos inherentes a la teoría de la deformación infinitesimal. En este caso, las configuraciones no deformadas y deformadas del medio continuo son significativamente diferentes, lo que requiere una distinción clara entre ellas. Este tipo de deformaciones son propias de materiales como elastómeros, plásticos, fluidos viscosos y, en el campo de la biología, los tejidos blandos.

Campo de desplazamiento

El desplazamiento de un cuerpo puede tener dos componentes: un desplazamiento rígido y una deformación. El desplazamiento de un cuerpo rígido consiste en una traslación y/o una rotación simultáneas del cuerpo sin cambiar su forma o tamaño. La deformación implica el cambio de forma y/o tamaño del cuerpo desde una configuración inicial o no deformada a una configuración actual o deformada (Figura 1).

Un cambio en la configuración de un cuerpo continuo puede describirse mediante un campo de desplazamiento. Un campo de desplazamiento es un campo vectorial que describe todos los vectores de desplazamiento de todas las partículas del cuerpo, y que relaciona la configuración deformada con la configuración no deformada. La distancia entre dos partículas cualesquiera cambia si y solo si se ha producido una deformación. Si el desplazamiento se produce sin deformación, entonces se trata del desplazamiento de un cuerpo rígido.

Tensor del gradiente de deformación El tensor del gradiente de deformación está relacionado tanto con la configuración de referencia como con la actual, expresada según los vectores unitarios y . Por lo tanto, es un tensor de punto a punto.

Se pueden definir dos tipos de tensor de gradiente de deformación.

Debido al supuesto de continuidad de , tiene el inverso, donde es el tensor de gradiente de deformación espacial. Entonces, por el teorema de la función implícita, el determinante jacobiano debe ser no singular, es decir

El tensor del gradiente de deformación del material es un tensor de segundo orden que representa el gradiente de la función de aplicación o relación funcional , que describe el desplazamiento en un medio continuo. El tensor de gradiente de deformación del material caracteriza la deformación local en un punto material con el vector de posición , es decir, la deformación en puntos vecinos, transformando (mediante una aplicación lineal) un elemento lineal del material que conecta la configuración de referencia de cada punto con su configuración actual o deformada, asumiendo la continuidad de la función , es decir, considerando que es diferenciable respecto a la posición y al tiempo , lo que implica que no se producen fracturas y que no se abren ni cierran huecos durante la deformación. Así, se tiene que

Vector de desplazamiento relativo Considérese una partícula o punto material con el vector de posición en la configuración no deformada (Figura 2). Después de un desplazamiento del cuerpo, la nueva posición de la partícula indicada por en la nueva configuración viene dada por la posición del vector . Los sistemas de coordenadas para la configuración deformada y no deformada se pueden superponer si así conviene.

Considérese ahora un punto material vecino de , con vector de posición . En la configuración deformada, esta partícula tiene una nueva posición dada por el vector de posición . Suponiendo que los segmentos de línea y que unen las partículas y en la configuración no deformada y deformada, respectivamente, son muy pequeños, entonces se puede expresarlos como y . Así, de la Figura 2 se deduce que

donde es el vector de desplazamiento relativo, que representa el movimiento del punto con respecto a en la configuración deformada.

Aproximación de Taylor Para un elemento infinitesimal , y suponiendo la continuidad en el campo de desplazamiento, es posible utilizar una serie de Taylor alrededor del punto , despreciando términos de orden superior, para aproximar las componentes del vector de desplazamiento relativo para la partícula vecina como

Así, la ecuación anterior se puede escribir como

Derivada respecto al tiempo del gradiente de deformación Los cálculos que implican la deformación de un cuerpo dependiente del tiempo a menudo requieren que se calcule una derivada respecto al tiempo del gradiente de deformación. Una definición geométricamente consistente de dicha derivada requiere una incursión en la geometría diferencial,A. Yavari, J.E. Marsden, and M. Ortiz, On spatial and material covariant balance laws in elasticity, Journal of Mathematical Physics, 47, 2006, 042903; pp. 1–53. aunque en el presente artículo no se considera este tipo de problemas.

La derivada respecto al tiempo de es

donde es la velocidad de deformación del material, por lo que la derivada del lado derecho representa el gradiente de la velocidad del material. Es común convertirlo en un gradiente espacial aplicando la regla de la cadena de las derivadas, es decir,

donde es el gradiente de la velocidad espacial y donde es la velocidad espacial (euleriana) en . Si el gradiente de la velocidad espacial es constante en el tiempo, la ecuación anterior se puede resolver exactamente para obtener

suponiendo que en . Existen varios métodos para calcular el valor exponencial anterior.

Cantidades relacionadas que se utilizan a menudo en mecánica continua son el tensor de velocidad de deformación y el tensor de giro definidos, respectivamente, como:

El tensor de velocidad de deformación proporciona la velocidad de estiramiento de los elementos lineales, mientras que el tensor de espín indica la velocidad de rotación o vorticidad del movimiento.

La derivada material-tiempo de la inversa del gradiente de deformación (manteniendo fija la configuración de referencia) a menudo se requiere en análisis que involucran deformaciones finitas. Esta derivada es

La relación anterior se puede verificar tomando la derivada respecto al tiempo del material de y observando que .

Descomposición polar del tensor de gradiente de deformación

El gradiente de deformación , como cualquier tensor invertible de segundo orden, se puede descomponer (utilizando el teorema de descomposición polar) en un producto de dos tensores de segundo orden (Truesdell y Noll, 1965): un tensor ortogonal y un tensor simétrico definido positivo, es decir,

donde el tensor es un tensor ortogonal propio, es decir, y , que representan una rotación; el tensor es el tensor de estiramiento derecho; y el tensor de estiramiento izquierdo. Los términos derecha e izquierda significan que están a la derecha e izquierda del tensor de rotación , respectivamente. y son ambos matrices definidas positivas, es decir, y para todos los distintos de cero, y tensores simétricos, es decir, y , de segundo orden.

Esta descomposición implica que la deformación de un elemento lineal en la configuración no deformada sobre en la configuración deformada, es decir, , se puede obtener estirando primero el elemento en , es decir, , seguido de una rotación , es decir, ; o de manera equivalente, aplicando primero una rotación rígida , es decir, , seguida a continuación de un estiramiento , es decir, (véase la Figura 3).

Debido a la ortogonalidad de

de modo que y tienen los mismos autovalores o deformaciones principales, pero diferentes vectores propios o direcciones principales y , respectivamente. Las direcciones principales están relacionadas por

Esta descomposición polar, que es única ya que es invertible con un determinante positivo, es un corolario de la descomposición en valores singulares.

Transformación de un elemento de superficie y volumen Para transformar cantidades definidas con respecto a áreas en una configuración deformada a aquellas relativas a áreas en una configuración de referencia, y viceversa, se usa la relación de Nanson, expresada como

donde es un área de una región en la configuración deformada, es la misma área en la configuración de referencia, y es la normal exterior al elemento de área en la configuración actual, mientras que es la normal exterior en la configuración de referencia, es el gradiente de deformación y .

La fórmula correspondiente para la transformación del elemento de volumen es:

Tensores de deformación fundamentales

Un tensor de deformación está definido según la Unión Internacional de Química Pura y Aplicada como:

Dado que una rotación pura no debería inducir ninguna deformación en un cuerpo deformable, a menudo es conveniente utilizar medidas de deformación independientes de la rotación en mecánica de medios continuos. Como una rotación seguida de su rotación inversa no produce ningún cambio (), se puede excluir la rotación multiplicando el tensor de gradiente de deformación por su matriz transpuesta.

En mecánica se utilizan varios tensores de gradiente de deformación independientes de la rotación (o tensores de deformación, para abreviar). En mecánica de sólidos, los más habituales son los tensores de deformación de Cauchy-Green derecho e izquierdo.

Tensor de deformación de Cauchy (tensor de deformación de Cauchy-Green derecho) En 1839, George Green introdujo un tensor de deformación conocido como tensor de deformación derecho de Cauchy-Green o tensor de deformación de Green (la Unión Internacional de Química Pura y Aplicada recomienda que este tensor se llame "tensor de deformación de Cauchy"), definido como:

Físicamente, el tensor de Cauchy-Green proporciona el cuadrado del cambio local en distancias debido a la deformación, es decir,

Las invariantes de se utilizan a menudo en las expresiones para caracterizar la función densidad de energía de deformación. Los invariantes más utilizados son

donde es el determinante del gradiente de deformación y son relaciones de estiramiento para las fibras unitarias que inicialmente están orientadas en las direcciones del vector propio del tensor de estiramiento derecho (de referencia, que generalmente no están alineados con los tres ejes de los sistemas de coordenadas).

Tensor de tensión de Finger La Unión Internacional de Química Pura y Aplicada recomienda que el inverso del tensor de deformación de Cauchy-Green derecho (llamado tensor de deformación de Cauchy en ese documento), es decir, , se denomine tensor de tensión de Finger. Sin embargo, esa nomenclatura no es universalmente aceptada en la mecánica aplicada.

Tensor de deformación de Green (tensor de deformación de Cauchy-Green izquierdo) Invertir el orden de multiplicación en la fórmula del tensor de deformación de Green-Cauchy derecho conduce al tensor de deformación de Cauchy-Green izquierdo, que se define como:

El tensor de deformación de Cauchy-Green izquierdo a menudo se denomina tensor de deformación de Finger, en memoria de Josef Finger (1894).Eduardo N. Dvorkin, Marcela B. Goldschmit, 2006 Nonlinear Continua, p. 25, Springer .

La Unión Internacional de Química Pura y Aplicada recomienda que este tensor se llame tensor de deformación de Green.

Los invariantes de también se utilizan en las expresiones para caracterizar la función densidad de energía de deformación. Los invariantes usuales se definen como

donde es el determinante del gradiente de deformación.

Para materiales comprimibles, se utiliza un conjunto de invariantes ligeramente diferente:

Tensor de deformación de Piola (tensor de deformación de Cauchy) A principios de 1828,Jirásek,Milan; Bažant, Z. P. (2002) Inelastic analysis of structures, Wiley, p. 463 Augustin Louis Cauchy introdujo un tensor de deformación definido como el inverso del tensor de deformación izquierdo de Cauchy-Green, . Este tensor también ha sido llamado tensor de deformación de Piola por la IUPAC y tensor de FingerJ. N. Reddy, David K. Gartling (2000) The finite element method in heat transfer and fluid dynamics, p. 317, CRC Press . en la literatura de reología y dinámica de fluidos.