Las coordenadas curvilíneas se pueden formular mediante el cálculo tensorial, con aplicaciones importantes en física e ingeniería, particularmente para describir el transporte de cantidades físicas y la deformación de la materia en mecánica de fluidos y mecánica de medios continuos.
Álgebra vectorial y tensorial en coordenadas curvilíneas tridimensionales Nota: A continuación se utiliza el convenio de suma de Einstein de índices repetidos.
El álgebra elemental de vectores y tensores en coordenadas curvilíneas se utiliza en parte de la literatura científica más antigua sobre mecánica y física, y puede ser indispensable para comprender el trabajo de principios y mediados del , como por ejemplo el texto de Green y Zerna. En esta sección se dan algunas relaciones útiles en el álgebra de vectores y tensores de segundo orden en coordenadas curvilíneas. La notación y el contenido son principalmente de Ogden, Naghdi, Simmonds, Green y Zerna, Basar y Weichert, y Ciarlet.
Transformaciones de coordenadas Considérense dos sistemas de coordenadas con variables de coordenadas y , que se representarán en breve como y respectivamente, asumiendo siempre que el índice va del 1 al 3. Se supone que estos sistemas de coordenadas están integrados en el mismo espacio euclídeo tridimensional. Las coordenadas y se pueden usar para explicarse entre sí, porque a medida que se produce un desplazamiento en la línea de coordenadas de un sistema de coordenadas, se puede usar el otro para describir la nueva posición. De esta manera, las coordenadas y están relacionadas entre sí mediante funciones
para
lo que se puede escribir como
para
Estas tres ecuaciones juntas también se denominan transformación de coordenadas de a . Esta transformación se denota como . Por lo tanto, se representará la transformación del sistema de coordenadas con variables de coordenadas al sistema de coordenadas con coordenadas como:
De manera similar, se puede representar en función de de la siguiente manera:
para
De manera similar, se pueden escribir las ecuaciones libres de manera más compacta como
para
Estas tres ecuaciones juntas también se denominan transformación de coordenadas de a . Ahora, se denota esta transformación por , y se representará la transformación del sistema de coordenadas con variables de coordenadas al sistema de coordenadas con coordenadas como:
Si la transformación es biyectiva, entonces se denomina a la imagen de la transformación, concretamente , un conjunto de coordenadas admisibles . Si es lineal, el sistema de coordenadas se denominará sistema de coordenadas afín. De lo contrario, se denominará sistema de coordenadas curvilíneo.
Jacobiano Como ahora se ve que las coordenadas y están relacionadas entre sí mediante funciones, se puede tomar la derivada de la variable de coordenadas con respecto a la variable de coordenadas y considerar que
para . Estas derivadas se pueden organizar en una matriz, póngase por caso , en la que es el elemento en la -ésima fila y en la -ésima columna
La matriz resultante se llama matriz jacobiana.
Vectores en coordenadas curvilíneas Sea (b1, b2, b3) una base arbitraria para el espacio euclídeo tridimensional. En general, los vectores de la base no son ni vectores unitarios ni mutuamente ortogonales. Sin embargo, se requiere que sean linealmente independientes. Entonces, un vector v' se puede expresar como
Las componentes vk son las componentes contravariantes del vector v.
La base recíproca (b1, b2, b3) está definida por la relación
donde δi j es la delta de Kronecker.
El vector v también se puede expresar en términos de la base recíproca:
Las componentes vk son las componentes covariantes del vector .
Tensores de segundo orden en coordenadas curvilíneas Un tensor de segundo orden se puede expresar como
Las componentes Sij se denominan componentes contravariantes, las componentes Si j son las componentes covariantes a la derecha mixtas, las componentes Si j son las componentes covariantes a la izquierda mixtas, y las componentes Sij se denominan componentes covariantes del tensor de segundo orden.
Tensor métrico y relaciones entre componentes Las cantidades gij, gij se definen como
De las ecuaciones anteriores se tiene que
Las componentes de un vector están relacionadas por
Y también
Las componentes del tensor de segundo orden están relacionadas por
Tensor alterno En términos ortonormales a la derecha, el tensor alterno de tercer orden se define como
En una base curvilínea general, el mismo tensor se puede expresar como
Se puede demostrar que
Ahora,
Y por eso,
De manera similar, se puede demostrar que
Operaciones vectoriales
Aplicación identidad La aplicación de identidad I, definida por , se puede mostrar como:
Producto escalar (punto) El producto escalar de dos vectores en coordenadas curvilíneas es
Producto vectorial (cruzado) El producto vectorial de dos vectores viene dado por:
donde εijk es símbolo de Levi-Civita y ei es un vector de base cartesiana. En coordenadas curvilíneas, la expresión equivalente es:
donde es el tensor alterno de tercer orden. El producto vectorial de dos vectores viene dado por:
donde εijk es el símbolo de Levi-Civita y es un vector de base cartesiana. Por lo tanto,
y
Por eso,
Volviendo al producto vectorial y usando las relaciones:
se obtiene
Operaciones tensoriales
Aplicación identidad Se puede mostrar que la aplicación identidad definida por es
Acción de un tensor de segundo orden sobre un vector La acción de se puede expresar en coordenadas curvilíneas como
Producto interno de dos tensores de segundo orden El producto interno de dos tensores de segundo orden se puede expresar en coordenadas curvilíneas como
Alternativamente,
Determinante de un tensor de segundo orden Si es un tensor de segundo orden, entonces su determinante está definido por la relación
donde son vectores arbitrarios y
Relaciones entre vectores de bases curvilínea y cartesiana Sean (e1, e2, e3) los vectores de una base cartesiana habituales para el espacio euclídeo de referencia, y sean
donde Fi es un tensor de transformación de segundo orden que asigna ei a bi. Entonces,
De esta relación se puede demostrar que
Sea el jacobiano de la transformación. Entonces, a partir de la definición del determinante,
Dado que
se obtiene
Se pueden derivar varios resultados interesantes utilizando las relaciones anteriores.
Primero, considérese
Entonces
De manera similar, se puede demostrar que
Por lo tanto, utilizando el hecho de que ,
Otra relación interesante se deriva a continuación. Recordando que
donde A es una constante, todavía indeterminada. Entonces
Esta observación conduce a las relaciones
En notación indexada,
donde es el símbolo de Levi-Civita habitual.
No se ha identificado una expresión explícita para el tensor de transformación F porque es más útil una forma alternativa de aplicación entre bases curvilíneas y cartesianas. Suponiendo un grado suficiente de suavidad en la aplicación (y con un poco de abuso de notación), se tiene que
Similarmente,
De estos resultados se tiene que
y
Cálculo vectorial y tensorial en coordenadas curvilíneas tridimensionales Nota: A continuación se utiliza el convenio de suma de Einstein de índices repetidos.
Simmonds, en su libro sobre campos tensoriales, cita a Albert Einstein diciendo:
El cálculo vectorial y tensorial en coordenadas curvilíneas generales se utiliza en el análisis tensorial en variedades curvilíneas de cuatro dimensiones en la relatividad general, en la mecánica de placas curvas, y para examinar las propiedades de invarianza de las ecuaciones de Maxwell, lo que ha sido de interés en metamateriales y en muchos otros campos.
En esta sección se dan algunas relaciones útiles en el cálculo de vectores y tensores de segundo orden en coordenadas curvilíneas. La notación y el contenido son principalmente de Ogden, Simmonds, Green y Zerna, Basar y Weichert, y Ciarlet.
Definiciones básicas Sea la posición de un punto en el espacio caracterizada por tres variables de coordenadas .
El sistema de coordenadas q1 representa una curva en la que q2, q3 son constantes. Sea x la posición del punto relativo a algún origen. Entonces, suponiendo que dicha aplicación y su inversa existen y son continuas, se puede escribir
Los campos ψi(x) se denominan funciones de coordenadas curvilíneas del sistema de coordenadas curvilíneas ψ(x) = φ−1(x).
Las curvas de coordenadas qi están definidas por la familia de funciones de un parámetro dada por
con qj, qk arreglado.
Vector tangente para coordenadas curvilíneas El vector tangente a la curva xi en el punto xi(α) (o a la curva de coordenadas qi en el punto 'x) es
Gradiente
Campo escalar Sea f(x) un campo escalar en el espacio. Entonces
El gradiente del campo f está definido por
donde c es un vector constante arbitrario. Si se definen las componentes ci de c, son tales que
entonces
Si se configura , entonces desde , se tiene que
que proporciona un medio para extraer las componentes contravariantes de un vector c.
Si bi es la base covariante (o natural) en un punto, y si bi es la base contravariante (o recíproca) en ese punto, entonces
En la siguiente sección se ofrece una breve justificación de esta elección de base.
Campo vectorial Se puede utilizar un proceso similar para llegar al gradiente de un campo vectorial f(x). El gradiente está dado por
Si se considera el gradiente del campo del vector de posición r(x) = x, entonces se puede demostrar que
El campo vectorial bi es tangente a la curva de coordenadas qi y forma una base natural en cada punto de la curva. Esta base, como se analizó al principio de este artículo, también se denomina base curvilínea covariante. También se puede definir una base recíproca o una base curvilínea contravariante, bi. Todas las relaciones algebraicas entre los vectores de la base, como se analiza en la sección sobre álgebra tensorial, se aplican a la base natural y su recíproca en cada .
Como c es arbitrario, se puede escribir
Téngase en cuenta que el vector de la base contravariante bi es perpendicular a la superficie de la constante ψi y está dado por
Símbolos de Christoffel de primera especie Los símbolos de Christoffel de primera especie se definen como
Para expresar Γijk en términos de gij, se observa que
Dado que bi,j = bj,i se tiene que Γijk = Γjik. Usarlos para reorganizar las relaciones anteriores permite obtener
Símbolos de Christoffel de segunda especie Los símbolos de Christoffel de segunda especie se definen como
en donde
Esto implica que
Otras relaciones que se siguen son
Otra relación particularmente útil, que muestra que el símbolo de Christoffel depende solo del tensor métrico y de sus derivadas, es
Expresión explícita para el gradiente de un campo vectorial Las siguientes expresiones para el gradiente de un campo vectorial en coordenadas curvilíneas son bastante útiles.
Representación de un campo vectorial físico El campo vectorial v se puede representar como
donde son las componentes covariantes del campo, son las componentes físicas y (sin adición)
son los vectores de la base contravariante normalizados.
Campo tensorial de segundo orden El gradiente de un campo tensorial de segundo orden se puede expresar de manera similar como
Expresiones explícitas para el gradiente Si se considera la expresión del tensor en términos de una base contravariante, entonces
También se puede escribir
Representación de un campo tensorial físico de segundo orden Las componentes físicas de un campo tensorial de segundo orden se pueden obtener utilizando una base contravariante normalizada, es decir,
donde los vectores de la base con guion superior se han normalizado. Esto implica que (nuevamente sin suma)
Divergencia
Campo vectorial La divergencia de un campo vectorial () se define como
En términos de componentes con respecto a una base curvilínea