En física, el término momento angular relativista hace referencia a las expresiones matemáticas y a los conceptos físicos que definen el momento angular en la teoría de la relatividad especial (TRE) y en la teoría de la relatividad general (TRG). La magnitud relativista del momento angular es sutilmente diferente de la cantidad considerada en la mecánica clásica tridimensional.
El momento angular es una cantidad dinámica importante derivada de la posición y el impulso. Es una medida del movimiento de rotación de un objeto y de la resistencia a los cambios en su rotación. Además, de la misma manera que la conservación del momento corresponde a la simetría traslacional, la conservación del momento angular corresponde a la simetría rotacional: la conexión entre simetrías y leyes de conservación se expresa mediante el teorema de Noether. Si bien estos conceptos se descubrieron originalmente en la mecánica clásica, también son verdaderos y significativos en la relatividad especial y en la relatividad general. En términos del álgebra abstracta, la invariancia del momento angular, del cuadrimomento y de otras simetrías en el espacio-tiempo se describen mediante el grupo de Lorentz, o con carácter más general, mediante el grupo de Poincaré.
Magnitudes físicas que permanecen separadas en la física clásica se combinan naturalmente en la relatividad especial y en la relatividad general al imponer los postulados de la relatividad. En particular, las coordenadas espaciales y temporales se combinan en forma de un cuadrivector, y la energía y el impulso se combinan en forma del cuadrimomento. Los componentes de estos cuadrivectores dependen del sistema de referencia utilizado y cambian bajo la transformación de Lorentz a otros sistemas de referencia inerciales o no inerciales (acelerados).
El momento angular relativista es menos obvio. La definición clásica de momento angular es el producto vectorial de la posición x por el momento p para obtener un vector axial , o alternativamente, como el producto exterior para obtener un tensor antisimétrico de segundo orden. ¿Con qué se combina esta magnitud en todo caso? Hay otra cantidad vectorial que no se discute a menudo, el momento variable en el tiempo del vector polar de masa (no el momento de inercia) relacionado con el impulso del centro de masas del sistema, y esto se combina con el seudovector del momento angular clásico para formar un tensor antisimétrico de segundo orden, exactamente de la misma manera que el vector polar del campo eléctrico se combina con el seudovector del campo magnético para formar el tensor antisimétrico del campo electromagnético. Para distribuciones de masa-energía en rotación (como por ejemplo, giróscopos, planetas, estrellas o agujeros negros) en lugar de partículas puntuales, el tensor de momento angular se expresa en términos del tensor de energía-impulso del objeto en rotación.
Solo en la relatividad especial, en el sistema de referencia en reposo de un objeto que gira, hay un momento angular intrínseco análogo al espín en mecánica cuántica y en mecánica cuántica relativista, aunque para un cuerpo extendido en lugar de una partícula puntual. En mecánica cuántica relativista, las partículas elementales tienen espín, una contribución adicional al operador de momento angular orbital, lo que produce el operador tensor de momento angular total. En cualquier caso, la adición intrínseca del espín al momento angular orbital de un objeto se puede expresar en términos del seudovector de Pauli-Lubanski.
Definiciones
Momento angular orbital tridimensional
Como referencia y antecedentes, se describen dos formas de momento angular estrechamente relacionadas.
En mecánica clásica, el momento angular orbital de una partícula con vector de posición tridimensional instantáneo y vector de momento , se define como vector axial.
que tiene tres componentes, que están dados sistemáticamente por permutación cíclica de direcciones cartesianas (por ejemplo, cambiar a , a , a , repetir)
Una definición relacionada es concebir el momento angular orbital como un "elemento plano". Esto se puede lograr reemplazando el producto cruzado por producto exterior en el lenguaje de producto exterior, y el momento angular se convierte en un contravariant de segundo orden tensor antisimétrico. Penrose includes a factor of 2 in the wedge product, other authors may also.
o escribiendo y el vector de impulso , los componentes se pueden abreviar de forma compacta en tensor index notation
donde los índices y toman los valores 1, 2, 3. Por otro lado, los componentes se pueden mostrar sistemáticamente de forma completa en un matriz antisimétrica de 3 × 3.
Esta cantidad es aditiva y, para un sistema aislado, el momento angular total de un sistema se conserva.
Momento de masa dinámico
En mecánica clásica, la cantidad tridimensional de una partícula de masa m que se mueve con velocidad utiene el dimensions de momento de masa: longitud multiplicada por masa. Es igual a la masa de la partícula o sistema de partículas multiplicada por la distancia desde el origen espacial al centro de masas (COM) en el origen temporal (), medida en el sistema de referencia local. No existe un símbolo universal, ni siquiera un nombre universal, para esta cantidad. Diferentes autores pueden indicarlo mediante otros símbolos, si los hubiera (por ejemplo µ), pueden designar otros nombres y pueden definir N como el negativo de lo que se usa aquí. La forma anterior tiene la ventaja de que se parece al familiar Transformación de Galileo para posición, que a su vez es la transformación de impulso no relativista entre marcos inerciales.
Este vector también es aditivo: para un sistema de partículas, la suma vectorial es la resultante
donde la posición centro de masas y la velocidad y la masa total del sistema son respectivamente
Para un sistema aislado, N se conserva en el tiempo, lo que se puede ver diferenciando con respecto al tiempo yo me. El momento angular L es un pseudovector, pero N es un vector "ordinario" (polar) y, por lo tanto, es invariante bajo inversión.
El Ntot resultante para un sistema multipartícula tiene la visualización física de que, cualquiera que sea el movimiento complicado de todas las partículas, se mueven de tal manera que el COM del sistema se mueve en línea recta. Esto no significa necesariamente que todas las partículas "sigan" el COM, ni que todas las partículas se muevan casi en la misma dirección simultáneamente, solo que el movimiento colectivo de las partículas está restringido en relación con el centro de masa.
En relatividad especial, si la partícula se mueve con velocidad u relativa al marco del laboratorio, entonces
dónde
es Factor de Lorentz y m es la masa (es decir, la masa en reposo) de la partícula. El momento de masa relativista correspondiente en términos de , , , , en el mismo marco de laboratorio es
Los componentes cartesianos son
Relatividad especial
Transformaciones de coordenadas para un impulso en la dirección x
Considere un sistema de coordenadas que se mueve con velocidad con respecto a otro sistema F, en la dirección de los ejes coincidentes. Los orígenes de los dos sistemas de coordenadas coinciden en los momentos . Los componentes masa-energía y momento de un objeto, así como las coordenadas de posición y el tiempo en el cuadro se transforman en , , y en según los Transformación de Lorentz.
El factor de Lorentz aquí se aplica a la velocidad v, la velocidad relativa entre los fotogramas. Esto no es necesariamente lo mismo que la velocidad u de un objeto.
Para el momento orbital de 3 ángulos L como pseudovector, tenemos
En los segundos términos de y , los componentes y de producto vectorial se pueden inferir reconociendo los permutación cíclica de y con los componentes de ,
Ahora, es paralelo a la velocidad relativa y los otros componentes y son perpendiculares a . La correspondencia paralelo-perpendicular se puede facilitar dividiendo todo el pseudovector de momento angular de 3 en componentes paralelos (?) y perpendiculares (?) a v, en cada cuadro,
Luego, las ecuaciones componentes se pueden recopilar en ecuaciones pseudovectoriales.
Por lo tanto, las componentes del momento angular en la dirección del movimiento no cambian, mientras que las componentes perpendiculares sí cambian. A diferencia de las transformaciones del espacio y el tiempo, el tiempo y las coordenadas espaciales cambian en la dirección del movimiento, mientras que las perpendiculares no.
Estas transformaciones son válidas para "todos" los , no solo para el movimiento en los ejes .
Considerando como tensor, obtenemos un resultado similar
dónde
El impulso del momento de masa dinámico en la dirección es
Recolectando componentes paralelos y perpendiculares como antes
Nuevamente, las componentes paralelas a la dirección del movimiento relativo no cambian, las perpendiculares sí cambian.
Transformaciones vectoriales para un impulso en cualquier dirección
Hasta ahora estas son solo las descomposiciones paralelas y perpendiculares de los vectores. Las transformaciones en los vectores completos se pueden construir a partir de ellos de la siguiente manera (en aquí es un pseudovector por motivos de concreción y compatibilidad con el álgebra vectorial).
Introduzca un vector unitario en la dirección de , dado por . Los componentes paralelos vienen dados por proyección vectorial de o en
mientras que la componente perpendicular por proyección vectorial de L o N de n
y las transformaciones son
o restablecer ,
Son muy similares a las transformaciones de Lorentz de campo eléctrico y campo magnético , ver Electromagnetismo clásico y relatividad especial.
Alternativamente, a partir de las transformaciones vectoriales de Lorentz de tiempo, espacio, energía y momento, para un impulso con velocidad ,
insertándolos en las definiciones
da las transformaciones.
Cuadrimomento angular como bivector
En mecánica relativista, el impulso COM y el momento angular orbital de 3 espacios de un objeto giratorio se combinan en un bivector de cuatro dimensiones en términos de four-position X y cuadrimomento P del objeto Nota: Algunos autores, incluido Penrose, utilizan letras "latinas" en esta definición , aunque es convencional utilizar índices griegos para vectores y tensores en el espacio-tiempo.
En componentes
que son seis cantidades independientes en total. Dado que los componentes de y dependen del marco, también lo es . Tres componentes
son los del conocido momento angular orbital clásico de 3 espacios, y los otros tres
son el momento de masa relativista, multiplicado por . El tensor es antisimétrico;
Los componentes del tensor se pueden mostrar sistemáticamente como matrix
en el que la última matriz es un matriz por bloques formado al tratar N como un row vector que matriz transpuesta equivale al column vector 'NT, y como un matriz antisimétrica de 3 × 3. Las líneas simplemente se insertan para mostrar dónde están los bloques.
Nuevamente, este tensor es aditivo: el momento angular total de un sistema es la suma de los tensores de momento angular para cada constituyente del sistema:
Cada uno de los seis componentes forma una cantidad conservada cuando se agrega con los componentes correspondientes de otros objetos y campos.
El tensor de momento angular M es de hecho un tensor, los componentes cambian de acuerdo con una matriz Transformación de Lorentz Λ, como se ilustra de la forma habitual en tensor index notation.
donde, para un impulso (sin rotaciones) con velocidad normalizada , los elementos de la matriz de transformación de Lorentz son
y los componentes covariante βi y contravariante βi de β son los mismos ya que son solo parámetros.
En otras palabras, uno puede transformar Lorentz las cuatro posiciones y los cuatro momentos por separado, y luego antisimetrizar esos componentes recién encontrados para obtener el tensor de momento angular en el nuevo marco.
Rotación de un cuerpo rígido