220px|thumb|right|Hendrik Antoon Lorentz (derecha), de quien lleva el nombre el grupo de Lorentz; y Albert Einstein, cuya teoría de la relatividad especial es su principal fuente de aplicación. Foto tomada por Paul Ehrenfest 1921
El grupo de Lorentz es un grupo de Lie de simetrías del espacio-tiempo de la teoría de la relatividad especial. Este grupo se puede realizar como una colección de matrices, aplicaciones lineales o también operadores unitarios en algunos espacios de Hilbert; y posee distintas representaciones.La forma en que se representan las simetrías del espacio-tiempo puede tomar muchas formas dependiendo de la teoría en cuestión. Si bien no es el tema actual, se proporcionarán algunos detalles en las notas a pie de página denominadas "nb" y en la sección aplicaciones. Este grupo es significativo porque la relatividad especial junto con mecánica cuántica son las dos teorías físicas más completamente establecidas, "Si resultase que un sistema no puede describirse mediante una teoría cuántica de campos, sería una sensación; si resultara que no obedece las reglas de la mecánica cuántica y de la relatividad, sería un cataclismo." y la conjunción de estas dos teorías es el estudio de las representaciones unitarias de dimensión infinita del grupo de Lorentz. Estas representaciones tienen tanto importancia histórica en la física convencional, como conexiones con teorías actuales más especulativas.
Desarrollo
La teoría completa de las representaciones de dimensión finita del álgebra de Lie del grupo de Lorentz se deduce utilizando el marco general de la teoría de representación de las álgebras de Lie semisimples. Las representaciones de dimensión finita del componente conectado del grupo de Lorentz completo se obtienen empleando la correspondencia de Lie y la exponencial de una matriz. Se obtiene la teoría completa de representación de dimensión finita del grupo de recubrimiento universal (y también del grupo espinorial, en un doble recubrimiento) de , y se da explícitamente en términos de acción en un espacio funcional en representaciones de y de . Las representaciones de la inversión del tiempo y de la inversión del espacio se dan en el epígrafe inversión del espacio e inversión del tiempo, completando la teoría de dimensión finita para el grupo de Lorentz completo. Se describen las propiedades de las representaciones (m, n) generales. Se considera la acción sobre espacios funcionales, y la acción sobre los armónicos esféricos y las funciones P de Riemann aparecen como ejemplos. El caso de dimensión infinita de las representaciones unitarias irreducibles se detalla para , la serie principal y la serie complementaria. Finalmente, se proporciona Fórmula de Plancherel para , y las representaciones de se clasifican y se realizan para álgebras de Lie.
El desarrollo de la teoría de la representación ha seguido históricamente el desarrollo de la teoría más general de la teoría de la representación de grupos reductivos, en gran parte debida a Élie Cartan y a Hermann Weyl, pero el grupo de Lorentz también ha recibido especial atención debido a su importancia en física. Autores de aportaciones notables fueron el físico Eugene Paul Wigner y el matemático Valentine Bargmann, con su Programa de Bargmann-Wigner, una de cuyas conclusiones es, aproximadamente, que una clasificación de todas las representaciones unitarias del grupo no homogéneo de Lorentz equivale a una clasificación de todas las posibles ecuaciones de ondas relativistas. La clasificación de las representaciones irreducibles de dimensión infinita del grupo de Lorentz fue establecida por el estudiante de doctorado en física teórica de Paul Dirac, Harish-Chandra, más tarde convertido en matemático,En 1945, Harish-Chandra fue a ver a Dirac a Cambridge, y se convenció de que la física teórica no era el campo en el que debería estar. Había encontrado un error en una demostración de Dirac en su trabajo en el grupo de Lorentz. Dirac dijo: "No me interesan las demostraciones, sólo me interesa lo que hace la naturaleza". Harish-Chandra escribió más tarde: "Este comentario confirmó mi creciente convicción de que no tenía el misterioso sexto sentido que se necesita para tener éxito en la física y pronto decidí pasarme a las matemáticas". Sin embargo, Dirac sugirió el tema de la tesis de Harish-Chandra, la clasificación de las representaciones irreducibles de dimensión infinita del grupo de Lorentz. Véase en 1947. La clasificación correspondiente para fue publicada de forma independiente por Bargmann e Israel Guelfand junto con Mark Naimark en el mismo año.
Aplicaciones Muchas de las representaciones, tanto de dimensión finita como de dimensión infinita, son importantes en la física teórica. Las representaciones aparecen en la descripción de campos en la teoría clásica de campos, siendo el más importante el campo electromagnético, y de partículas en mecánica cuántica relativista, así como de partículas y campos cuánticos en la teoría cuántica de campos y de otros objetos en la teoría de cuerdas y más allá. La teoría de la representación también proporciona la base teórica para el concepto de spin. La teoría entra en relatividad general en el sentido de que en regiones suficientemente pequeñas del espacio-tiempo, la física es la de la relatividad especial.
Las representaciones no unitarias irreducibles de dimensión finita junto con las representaciones unitarias irreducibles de dimensión infinita del grupo no homogéneo de Lorentz, el grupo de Poincaré, son las representaciones que tienen relevancia física directa.
Las representaciones unitarias de dimensión infinita del grupo de Lorentz aparecen por restricción de las representaciones unitarias de dimensión infinita irreducibles del grupo de Poincaré que actúan sobre los espacios de Hilbert de la mecánica cuántica relativista y de la teoría cuántica de campos. Pero estos también son de interés matemático y de relevancia física directa potencial con otros cometidos además del de la mera restricción. Hubo teorías especulativas, (los tensores y los espinores tienen infinitas contrapartes en los expansores de Dirac y los expinores de Harish-Chandra) consistentes con la relatividad y la mecánica cuántica, pero no han encontrado ninguna aplicación física probada. Las teorías especulativas modernas tienen potencialmente ingredientes similares, según se detalla a continuación.
Teoría clásica de campos Si bien el campo electromagnético junto con el campo gravitatorio son los únicos campos clásicos que proporcionan descripciones precisas de la naturaleza, otros tipos de campos clásicos también son importantes. En el enfoque de la teoría cuántica de campos (TCC), denominado segunda cuantización, el punto de partida es uno o más campos clásicos, donde, por ejemplo, las funciones de onda que resuelven la ecuación de Dirac se consideran campos clásicos antes de la (segunda) cuantificación. Si bien la segunda cuantificación y el formalismo Lagrangiano asociado a ella no es un aspecto fundamental de la teoría cuántica de campos, es cierto que hasta ahora todas las teorías cuánticas de campos pueden abordarse de esta manera, incluido el modelo estándar de la física de partículas. En estos casos, existen versiones clásicas de las ecuaciones de campo que siguen las ecuaciones de Euler-Lagrange derivadas del lagrangiano usando el principio de mínima acción. Estas ecuaciones de campo deben ser relativistas invariantes y sus soluciones (que se calificarán como funciones de onda relativistas según a la definición siguiente) debe transformarse bajo alguna representación del grupo de Lorentz.
La acción del grupo de Lorentz en el espacio de configuraciones de campo (una configuración de campo es la historia espacio-temporal de una solución particular, por ejemplo, el campo electromagnético en todo el espacio durante todo el tiempo es una configuración de un campo) se asemeja a la acción sobre los espacios de Hilbert de la mecánica cuántica, excepto en que los conmutadores son reemplazados por los corchetes de Poisson teóricos del campo.
Mecánica cuántica relativista Para los presentes propósitos se hace la siguiente definición: una función de onda relativista es un conjunto de funciones en el espacio-tiempo que se transforma bajo una transformación arbitraria propia de Lorentz como
donde es una matriz dimensional representativa de que pertenece a alguna suma directa de las representaciones que se presentarán a continuación.
Las teorías de una partícula de la mecánica cuántica relativista más útiles (no existen teorías de este tipo totalmente consistentes) son la ecuación de Klein-Gordon y la ecuación de Dirac en su configuración original. Son relativistamente invariantes y sus soluciones se transforman bajo el grupo de Lorentz como escalares de Lorentz () y los biespinores () respectivamente. El campo electromagnético es una función de onda relativista según esta definición, que se transforma bajo .
Las representaciones de dimensión infinita se pueden utilizar en el análisis de la dispersión.
Teoría cuántica de campos En la teoría cuántica de campos entra el cumplimiento de la invariancia relativista, entre otras cosas en el sentido de que la matriz S necesariamente debe ser invariante de Poincaré. Esto tiene la implicación de que hay una o más representaciones de dimensión infinita del grupo de Lorentz que actúan sobre un espacio de Fock.Consulte la fórmula (1) en Matriz S para saber cómo se transforman los estados libres de múltiples partículas. Una forma de garantizar la existencia de tales representaciones es la existencia de una descripción lagrangiana (con algunos requisitos básicos impuestos, véase la referencia) del sistema utilizando el formalismo canónico, del que se puede deducir una realización de los generadores del grupo de Lorentz.
Las transformaciones de los operadores de campo ilustran el papel complementario desempeñado por las representaciones de dimensión finita del grupo de Lorentz y las representaciones unitarias de dimensión infinita del grupo de Poincaré, testimoniando la profunda unidad entre las matemáticas y la física. A modo de ilustración, considérese la definición de un operador de campo de componentes: Un operador de campo relativista es un conjunto de funciones valoradas por el operador en el espacio-tiempo que se transforma bajo las transformaciones de Poincaré propias según
Aquí, es el operador unitario que representa en el espacio de Hilbert en el que se define , y es una representación dimensional del grupo de Lorentz. La regla de transformación es el segundo axioma de Wightman de la teoría cuántica de campos.
Por consideraciones de restricciones diferenciales a las que debe estar sujeto el operador de campo para describir una sola partícula con masa definida y espín (o helicidad), se deduce que Weinberg deduce la necesidad de operadores de creación y aniquilación de otra consideración, el principio de descomposición de cúmulos,
donde se interpretan como los operadores de creación y aniquilación respectivamente. El operador de creación se transforma según
y lo mismo ocurre con el operador de aniquilación. El punto a destacar es que el operador de campo se transforma según una representación no unitaria de dimensión finita del grupo de Lorentz, mientras que el operador de creación se transforma bajo la representación unitaria de dimensión infinita del grupo de Poincaré caracterizado por la masa y el espín de la partícula. La conexión entre ambos son las funciones de onda, también conocidas como funciones de coeficientes
que portan tanto los índices operados por las transformaciones de Lorentz como los índices operados por las transformaciones de Poincaré. A esto se le puede llamar conexión Lorentz-Poincaré. Para exhibir la conexión, se debe someter a ambos lados de la ecuación a una transformación de Lorentz que resulte, por ejemplo, en la variable ,