La historia de las transformaciones de Lorentz comprende el desarrollo de las aplicaciones lineales que forman el grupo de Lorentz o grupo de Poincaré preservando el intervalo de Lorentz y el producto interno de Minkowski .
En matemáticas, las transformaciones equivalentes a lo que luego se conoció como transformaciones de Lorentz en varias dimensiones fueron discutidas en el en relación con la teoría de las formas cuadráticas, de la geometría hiperbólica, de la geometría de Möbius y de la geometría de la esfera, lo que está conectado con el hecho de que el grupo de movimientos en el espacio hiperbólico, la transformación de Möbius o grupo lineal proyectivo especial, y el grupo de Laguerre son isomorfos al grupo de Lorentz.
En física, las transformaciones de Lorentz se dieron a conocer a principios del , cuando se descubrió que exhibían la simetría de las ecuaciones de Maxwell. Posteriormente, se volvieron fundamentales para toda la física, porque formaron la base de la teoría de la relatividad especial en la que muestran la simetría del espacio-tiempo de Minkowski, haciendo que la velocidad de la luz sea invariante entre diferentes sistemas inerciales. Relacionan las coordenadas espacio-temporales de dos marcos de referencia inerciales arbitrarios con velocidad relativa constante v. En un marco de referencia, la posición de un evento está dada por x,y,z y el tiempo t, mientras que en el otro el mismo evento tiene coordenadas x',y',z' y t.
Antecedentes matemáticos Utilizando los coeficientes de una matriz simétrica A, la forma bilineal asociada y una aplicación lineal en términos de una matriz de transformación g, se genera la transformación de Lorentz si se cumplen las siguientes condiciones:
Este conjunto forma un grupo ortonormal generalizado llamado grupo de Lorentz O(1,n), mientras que el caso det g=+1 forma el grupo de Lorentz restringido SO(1,n). La forma cuadrática se convierte en el intervalo de Lorentz en términos de un forma cuadrática indefinida del espacio de Minkowski (siendo un caso especial de espacio pseudoeuclídeo), y la forma bilineal asociada se convierte en el producto interno de Minkowski.Ratcliffe (1994), 3.1 and Theorem 3.1.4 and Exercise 3.1Naimark (1964), 2 in four dimensions Mucho antes del advenimiento de la relatividad especial se usaba en temas como la métrica de Cayley-Klein, el modelo hiperboloide y otros modelos de geometría hiperbólica, cálculo de funciones elípticas e integrales, transformación de formas cuadráticas indefinidas, contracciones de la hipérbola, teoría de grupos, transformación de Möbius, transformación de ondas esféricas, transformación de la ecuación de sine-Gordon, álgebra de bicuaterniones, números complejos hiperbólicos, álgebra de Clifford y otros.
Electrodinámica y relatividad especial Descripción general En la teoría de la relatividad especial, las transformaciones de Lorentz exhiben la simetría del espacio-tiempo de Minkowski mediante el uso de una constante c como la velocidad de la luz y un parámetro v como la velocidad relativa entre dos sistemas de referencia inerciales. Usando las condiciones anteriores, la transformación de Lorentz en 3+1 dimensiones asume la forma:
En física, Voigt (1887) había introducido transformaciones análogas relacionadas con un medio incompresible, y Heaviside (1888), Thomson (1889), Searle (1896) y Lorentz (1892, 1895), quienes analizaron las ecuaciones de Maxwell. Estos trabajos fueron completados por Larmor (1897, 1900) y Lorentz (1899, 1904); y Poincaré (1905) los llevó a su forma moderna, dándole a la transformación el nombre de Lorentz.Miller (1981), chapter 1 Finalmente, Einstein (1905) demostró en su desarrollo de la teoría de la relatividad especial que las transformaciones se derivan únicamente del principio de relatividad y la velocidad constante de la luz modificando los conceptos tradicionales de espacio y tiempo, sin necesidad de recurrir al éter como medio de transmisión de la luz, a diferencia de lo que habían considerado en sus trabajos Lorentz y Poincaré.Miller (1981), chapter 4-7 Minkowski (1907-1908) usó estas transformaciones para argumentar que el espacio y el tiempo están inseparablemente conectados en lo que pasó a denominarse el espacio-tiempo.
Con respecto a las representaciones especiales de las transformaciones de Lorentz, Minkowski (1907-1908) y Sommerfeld (1909) usaron funciones trigonométricas imaginarias, Frank (1909) y Varićak (1910) usaron funciones hiperbólicas, Bateman y Cunningham (1909-1910) usaron transformación de ondas esféricas, Herglotz (1909-10) usó transformaciones de Möbius, Plummer (1910) y Gruner (1921) usaron impulsos trigonométricos de Lorentz, Ignatowski (1910) dedujo las transformaciones sin el postulado de la velocidad de la luz, Noether (1910) y Klein (1910) como también Conway (1911) y Silberstein (1911) usaron bicuaterniones, Ignatowski (1910/11), Herglotz (1911), y otros usaron transformaciones vectoriales válidas en direcciones arbitrarias, y por último, Borel (1913-14) usó el parámetro de Cayley-Hermite.
Voigt (1887)
Woldemar Voigt (1887)Voigt (1887), p. 45 desarrolló una transformación en relación con el efecto Doppler y un medio incompresible, que con notación moderna toma la forma siguiente:Miller (1981), 114-115Pais (1982), Kap. 6b
Si los lados derechos de sus ecuaciones se multiplican por γ, se obtiene la transformación moderna de Lorentz. En la teoría de Voigt, la velocidad de la luz es invariante, pero sus transformaciones mezclan un impulso relativista junto con una reescalación del espacio-tiempo. Los fenómenos ópticos en el espacio libre son escalables, conformes e invariantes de Lorentz, por lo que su combinación también es invariante. Por ejemplo, las transformaciones de Lorentz se pueden ampliar usando el factor :Lorentz (1915/16), p. 197
.
l=1/γ da la transformación de Voigt, que cuando l=1 da la transformación de Lorentz. Pero las transformaciones de escala no son una simetría de todas las leyes de la naturaleza, solo del electromagnetismo, por lo que estas transformaciones no pueden usarse para formular un principio de relatividad en general. Poincaré y Einstein demostraron que hay que establecer l=1 para hacer simétrica la transformación anterior y formar un grupo como lo exige el principio de relatividad, por lo que la transformación de Lorentz es la única opción viable.
Voigt envió su artículo de 1887 a Lorentz en 1908, y fue reconocido en 1909:
También Hermann Minkowski dijo en 1908 que las transformaciones que desempeñan el papel principal en el principio de la relatividad fueron examinadas por primera vez por Voigt en 1887. Voigt respondió en el mismo artículo diciendo que su teoría se basaba en una teoría elástica de la luz, no en una teoría electromagnética. Sin embargo, concluyó que algunos resultados eran en realidad los mismos.Bucherer (1908), p. 762
Heaviside (1888), Thomson (1889), Searle (1896)
En 1888, Oliver HeavisideHeaviside (1888), p. 324 investigó las propiedades de las cargas en movimiento según la electrodinámica de Maxwell. Calculó, entre otras cosas, las anisotropías en el campo eléctrico de los cuerpos en movimiento representados por esta fórmula:Brown (2003)
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En consecuencia, Joseph John Thomson (1889)Thomson (1889), p. 12 encontró una manera de simplificar sustancialmente los cálculos relativos a cargas en movimiento mediante el uso de la siguiente transformación matemática (al igual que otros autores como Lorentz o Larmor, también Thomson utilizó implícitamente la transformación de Galileo z-vt en su ecuación):
De este modo, las ecuaciones de onda electromagnética no homogéneas se transforman en una ecuación de Poisson.Miller (1981), 98-99 Finalmente, George Frederick Charles SearleSearle (1886), p. 333 señaló en (1896) que la expresión de Heaviside conduce a una deformación de los campos eléctricos a la que llamó "Elipsoide de Heaviside" de razón axial:
Lorentz (1892, 1895)
Para explicar la aberración de la luz y el resultado del experimento de Fizeau de acuerdo con las ecuaciones de Maxwell, Lorentz desarrolló en 1892 un modelo (conocido como teoría del éter de Lorentz) en el que el éter está completamente inmóvil y la velocidad de la luz en el éter es constante en todas las direcciones. Para calcular la óptica de los cuerpos en movimiento, Lorentz introdujo las siguientes cantidades para transformar el sistema del éter en un sistema en movimiento (se desconoce si fue influenciado por Voigt, Heaviside y Thomson):Lorentz (1892a), p. 141Miller (1982), 1.4 & 1.5
donde x* es la transformación de Galileo x-vt. Excepto el γ adicional en la transformación del tiempo, esta es la transformación de Lorentz completa. Mientras que t es el tiempo "verdadero" para los observadores que descansan en el éter, t′ es una variable auxiliar solo para calcular procesos en los sistemas en movimiento. También es importante que Lorentz y más tarde también Larmor formularan esta transformación en dos pasos. Al principio una transformación galileana implícita y más tarde la ampliación al sistema electromagnético "ficticio" con ayuda de la transformación de Lorentz. Para explicar el resultado negativo del experimento de Michelson y Morley, (1892b)Lorentz (1892b), p. 141 introdujo la hipótesis adicional de que también las fuerzas intermoleculares se ven afectadas de manera similar e introdujo la contracción de Lorentz en su teoría (sin pruebas, como él mismo admitió). La misma hipótesis había sido formulada previamente por George FitzGerald en 1889 basándose en el trabajo de Heaviside. Si bien para Lorentz la contracción de la longitud era un efecto físico real, consideraba la transformación del tiempo solo como una hipótesis de trabajo heurística y una convención matemática.
En 1895, Lorentz desarrolló aún más su teoría e introdujo el "teorema de los estados correspondientes". Este teorema establece que un observador en movimiento (en relación con el éter) en su campo "ficticio" hace las mismas observaciones que un observador en reposo en su campo "real" para velocidades de primer orden en "v/c". Lorentz demostró que las dimensiones de los sistemas electrostáticos en el éter y en un marco móvil están conectadas por esta transformación:Lorentz (1895), p. 37
Para resolver problemas ópticos, utilizó la siguiente transformación, en la que llamó a la variable de tiempo modificada "hora local" ():Lorentz (1895), p. 49 for local time and p. 56 for spatial coordinates.
Con este concepto Lorentz podría explicar el efecto Doppler, la aberración de la luz y el experimento de Fizeau.Janssen (1995), 3.1
Larmor (1897, 1900)
En 1897, Larmor amplió el trabajo de Lorentz y dedujo la siguiente transformación:Larmor (1897), p. 229
Señaló que si se supone que la constitución de las moléculas es eléctrica, entonces la contracción de FitzGerald-Lorentz es una consecuencia de esta transformación, explicando el experimento de Michelson y Morley. Es notable que Larmor fue el primero en reconocer que algún tipo de dilatación del tiempo también es una consecuencia de esta transformación, porque "los electrones individuales describen partes correspondientes de sus órbitas en tiempos más cortos para el sistema [resto] en la proporción 1/γ".Darrigol (2000), Chap. 8.5Macrossan (1986) Larmor escribió sus ecuaciones y transformaciones electrodinámicas ignorando términos de orden superior a (v/c)2. Cuando su artículo de 1897 se reimprimió en 1929, Larmor añadió el siguiente comentario en el que describía cómo se pueden hacer válidos para todos los órdenes de v/c:Larmor (1897/1929), p. 39
De acuerdo con ese comentario, en su libro Aether and Matter publicado en 1900, Larmor utilizó una hora local modificada t″=t′-εvx′/c2 en lugar de la expresión de 1897 t′=t-vx/c2 reemplazando v/c2 por εv/c2, de modo que t′′ es ahora idéntica a la dada por Lorentz en 1892, que combinó con una transformación galileana para las coordenadas x′, y′, z′, t′:Larmor (1900), p. 168