En matemáticas, los espacios métricos probabilísticos son una generalización de espacios métricos donde la distancia ya no toma valores en los números reales no negativos , subo en espacios de funciones de distribución.
Sea D+ el conjunto de todas las funciones densidad de probabilidad F tales que F(0) = 0 (F es una aplicación continua por la izquierda, no decreciente de en tal que el max(F) = 1).
A continuación, se da un conjunto no-vacío S y una función F: S × S → D+ donde designamos como F(p, q), en lugar de Fp,q, a cada (p, q) ∈ S × S. Se dice que el par ordenado (S, F) es un espacio métrico probabilístico si:
Para todas las u y v en S, si y solo si para todo . Para todas las u y v en S, . Para todos los u, v y w en S, y para .
Historia Los espacios métricos probabilísticos son introducidos inicialmente por Menger, que se denominaron métricas estadísticas. Poco después, Wald criticaría la desigualdad generalizada del triángulo, proponiendo una alternativa a la misma. Sin embargo, ambos autores habían llegado a la conclusión de que, en algunos aspectos, la desigualdad de Wald era un requisito demasiado estricto para imponerlo a todos los espacios métricos de probabilidad, lo que se incluye en parte en el trabajo de Schweizer y Sklar. Más tarde, los espacios métricos probabilísticos resultaron ser muy adecuados para ser utilizados con conjuntos difusos y más adelante llamados espacios métricos difusos
Métrica de probabilidad de variables aleatorias Una métrica de probabilidad D entre dos variables aleatorias X e Y puede definirse, por ejemplo, como
donde F(x, y) denota la función de densidad de probabilidad conjunta de las variables aleatorias X e Y. Si X e Y son independientes entre sí, entonces la ecuación anterior se transforma en
donde f(x) y g(y) son funciones de densidad de probabilidad de X e Y respectivamente.
Se puede demostrar fácilmente que tales métricas de probabilidad no satisfacen el primer axioma métrico o lo satisfacen si, y sólo si, los argumentos X e Y son ciertos eventos descritos por una densidad que sea una delta de Dirac . En este caso:
la métrica de probabilidad simplemente se transforma en la métrica entre valor esperado , de las variables X e Y.
Para todas las demás variables aleatorias X, Y la métrica de probabilidad no satisface la condición de identidad de indiscernibles requerida para ser satisfecha por la métrica del espacio métrico, es decir:
thumb|right|325px|Métrica de probabilidad entre dos variables aleatorias X e Y, ambas con distribuidas normalmente con la misma desviación estándar (comenzando con la curva inferior). denota una distancia entre medias de X e Y.
Ejemplo Por ejemplo, si ambas función de distribución de probabilidad de las variables aleatorias X e Y se distribuyen según una distribución normal (N) y tienen la misma desviación estándar , la integración de obtiene:
Dónde
y es la función de error complementaria.
En este caso:
Métrica de probabilidad de vectores aleatorios La métrica de probabilidad de las variables aleatorias puede extenderse a la métrica D(X, Y) de vectores aleatorios X, Y sustituyendo con cualquier operador métrico d(x, y):
donde F(X, Y) es la función de densidad de probabilidad conjunta de los vectores aleatorios X e Y. Por ejemplo, sustituyendo d(x, y) por métrica euclídea y proporcionando que los vectores X e Y son mutuamente independientes se obtendría que:
Referencias
Categoría:Distribuciones de probabilidad Categoría:Geometría métrica