En teoría de números y geometría algebraica, un punto racional de una variedad algebraica es un punto cuyas coordenadas pertenecen a un cuerpo determinado. Si no se menciona el cuerpo, generalmente se entiende el cuerpo de los números racionales. Si se trata del cuerpo de los números reales, un punto racional se denomina más comúnmente punto real.

Comprender los puntos racionales es un objetivo central de la teoría de números y de la geometría diofántica. Por ejemplo, el último teorema de Fermat se puede reformular como: para , la curva de Fermat de la ecuación no tiene otros puntos racionales que , y, si es par, entonces esos puntos son y .

Definición Dado un cuerpo , y un cuerpo algebraicamente cerrado de , una variedad afín sobre es el conjunto de ceros comunes en de una colección de polinomios con coeficientes en :

Estos ceros comunes se denominan puntos de .

Un -punto racional (o -punto) de es un punto de que pertenece a , es decir, una secuencia de elementos de tales que para todo . El conjunto de puntos racionales de a menudo se denota como .

A veces, cuando se sobrentiende el cuerpo , o cuando es el cuerpo de los números racionales, se habla de "puntos racionales" en lugar de "-puntos racionales".

Por ejemplo, los puntos racionales de la circunferencia goniométrica de la ecuación

son los pares de números racionales

donde es una terna pitagórica.

El concepto también tiene sentido en entornos más generales. Una variedad proyectiva en un espacio proyectivo sobre un cuerpo se puede definir mediante una colección de ecuaciones de polinomios homogéneos en las variables Un punto de escrito viene dado por una sucesión de elementos de , no todos ceros, en el entendido de que multiplicar todo por el mismo elemento distinto de cero de da el mismo punto en el espacio proyectivo. Entonces, un punto de es también un punto de en el que los polinomios dados se anulan.

De manera más general, sea un esquema sobre un cuerpo . Esto significa que se genera un morfismo de esquemas . Entonces, un punto de significa una sección de este morfismo, es decir, un morfismo tal que la composición es la identidad en . Esto concuerda con las definiciones anteriores cuando es una variedad afín o proyectiva (vista como un esquema sobre ).

Cuando es una variedad sobre un cuerpo algebraicamente cerrado , gran parte de la estructura de está determinada por su conjunto de puntos racionales . Sin embargo, para un cuerpo general , proporciona solo información parcial sobre . En particular, para una variedad sobre un cuerpo y cualquier extensión de cuerpos de , también determina el conjunto de -puntos racionales de , es decir, el conjunto de soluciones de las ecuaciones que definen con valores en .

Ejemplo: Sea la curva cónica en el plano afín sobre los números reales Entonces, el conjunto de puntos reales está vacío, porque el cuadrado de cualquier número real no es negativo. Por otro lado, en la terminología de la geometría algebraica, la variedad algebraica sobre no está vacía, porque el conjunto de puntos complejos no está vacío.

De manera más general, para un esquema sobre el anillo conmutativo y cualquier -álgebra conmutativa , el conjunto de puntos de significa el conjunto de morfismos sobre . El esquema está determinado hasta el isomorfismo por el funtor ; esta es la filosofía de identificar un esquema con su funtor de puntos. Otra formulación es que el esquema sobre determina un esquema sobre por cambio de base, y los puntos de (sobre ) pueden identificarse con los puntos de (sobre ).

La teoría de ecuaciones diofánticas tradicionalmente significaba el estudio de puntos enteros, es decir, soluciones de ecuaciones polinomiales en los números enteros en lugar de los racionales Para ecuaciones polinómicas homogéneas como , los dos problemas son esencialmente equivalentes, ya que cada punto racional se puede escalar para convertirse en un punto entero.

Puntos racionales en curvas Gran parte de la teoría de números puede verse como el estudio de puntos racionales de variedades algebraicas, siendo un escenario conveniente las variedades proyectivas suaves. Para curvas proyectivas suaves, el comportamiento de los puntos racionales depende en gran medida del género de la curva.

Género 0 Cada curva proyectiva suave de género cero sobre un cuerpo es isomorfa a una curva cónica (de grado 2) en Si tiene un punto racional , entonces es isomorfa a sobre , por lo que sus puntos racionales son completamente sobreentendidos.Hindry & Silverman (2000), Theorem A.4.3.1. Si es el cuerpo de los números racionales (o más generalmente, un cuerpo de números algebraicos), existe un algoritmo para determinar si una cónica dada tiene un punto racional, basándose en el principio de Hasse: una cónica sobre tiene un punto racional si y solo si tiene un punto sobre todas las terminaciones de , es decir, sobre y todos los cuerpos p-ádicos

Género 1 Es más difícil determinar si una curva de género 1 tiene un punto racional. El principio de Hasse falla en este caso: por ejemplo, según Ernst Selmer, la curva cúbica en tiene un punto sobre todas las terminaciones de pero ningún punto racional.Silverman (2009), Remark X.4.11. El fallo del principio de Hasse para curvas de género 1 se mide mediante el grupo de Tate-Shafarevich.

Si es una curva de género 1 con un punto racional , entonces se llama curva elíptica sobre . En este caso, tiene la estructura de un grupo algebraico conmutativo (con como elemento cero), por lo que el conjunto de puntos racionales es un grupo abeliano. El teorema de Mordell-Weil dice que para una curva elíptica (o, más generalmente, una variedad abeliana) sobre un cuerpo numérico , el grupo abeliano está finitamente generado. Los programas de álgebra informática pueden determinar el grupo de Mordell-Weil en muchos ejemplos, pero no se sabe si existe un algoritmo que siempre tenga éxito en calcular este grupo. Eso se seguiría de la conjetura de que el grupo Tate-Shafarevich es finito, o de la conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer (también relacionada con el tema).Silverman (2009), Conjecture X.4.13.

Género al menos 2 El teorema de Faltings (anteriormente la conjetura de Mordell) dice que para cualquier curva de género al menos 2 sobre un cuerpo numérico , el conjunto es finito.Hindry & Silverman (2000), Theorem E.0.1.

Algunos de los grandes logros de la teoría de números equivalen a determinar los puntos racionales en curvas particulares. Por ejemplo, el último teorema de Fermat (probado por Richard Taylor y Andrew Wiles) es equivalente a la afirmación de que para un número entero al menos 3, los únicos puntos racionales de la curva en sobre son los obvios: y ; y para incluso; y para impar. La curva (como cualquier curva suave de grado en ) tiene género

No se sabe si existe un algoritmo para encontrar todos los puntos racionales en una curva arbitraria de género al menos 2 en un cuerpo numérico. Existe un algoritmo que funciona en algunos casos. Su terminación en general se derivaría de las conjeturas de que el grupo Tate-Shafarevich de una variedad abeliana sobre un cuerpo numérico es finito y que la obstrucción de Brauer-Manin es la única obstrucción al principio de Hasse, en el caso de curvas.Skorobogatov (2001), section 6,3.

Dimensiones superiores Variedades con pocos puntos racionales En dimensiones superiores, un objetivo unificador es la conjetura de Bombieri-Lang de que, para cualquier variedad de tipo general sobre un cuerpo numérico , el conjunto de puntos racionales de no es una topología de Zariski en (es decir, los puntos racionales están contenidos en una unión finita de subvariedades de dimensiones inferiores de ). En la dimensión 1, este es exactamente el teorema de Faltings, ya que una curva es de tipo general si y solo si tiene género al menos 2. Lang también hizo conjeturas más precisas relacionando la finitud de los puntos racionales con la hiperbolicidad de Kobayashi.Hindry & Silverman (2000), section F.5.2.

Por ejemplo, la conjetura de Bombieri-Lang predice que una hipersuperficie suave de grado en el espacio proyectivo sobre un cuerpo numérico no tiene puntos racionales densos de Zariski si es . No se sabe mucho sobre ese caso. El resultado más sólido conocido de la conjetura de Bombieri-Lang es el teorema de Faltings sobre subvariedades de variedades abelianas (generalizando el caso de curvas). Es decir, si es una subvariedad de una variedad abeliana sobre un cuerpo numérico , entonces todos los puntos racionales de están contenidos en una unión finita de traslaciones de subvariedades abelianas contenidas en Hindry & Silverman (2000), Theorem F.1.1.1. (entonces, si contiene subvariedades no abelianas trasladadeas de dimensión positiva, entonces es finito).

Variedades con muchos puntos racionales En la dirección opuesta, se dice que una variedad sobre un cuerpo numérico tiene puntos racionales potencialmente densos si existe un cuerpo de extensión finito de tal que los puntos racionales de sean densos de Zariski en . Frédéric Campana conjeturó que una variedad es potencialmente densa si y solo si tiene una fibración no racional sobre un orbifold de dimensión positiva de tipo general.Campana (2004), Conjecture 9.20. Un caso conocido es que cada superficie cúbica en sobre un cuerpo numérico tiene puntos racionales potencialmente densos, porque (más fuertemente) se convierte en racional sobre alguna extensión finita de (a menos que sea un cono sobre una curva cúbica plana). La conjetura de Campana también implicaría que una superficie K3 (como una superficie cuártica suave en ) sobre un cuerpo numérico tiene puntos racionales potencialmente densos. Esto solo se sabe en casos especiales, por ejemplo si posee una fibración elíptica.Hassett (2003), Theorem 6.4.

Cabe preguntarse cuándo una variedad tiene un punto racional sin ampliar el cuerpo base. En el caso de una hipersuperficie de grado en sobre un cuerpo numérico, hay buenos resultados cuando es mucho más pequeño que , a menudo basándose en el método del círculo de Hardy-Littlewood. Por ejemplo, el teorema de Hasse-Minkowski afirma que el principio de Hasse se aplica a hipersuperficies cuádricas sobre un cuerpo numérico (el caso ). Christopher Hooley demostró el principio de Hasse para hipersuperficies cúbicas suaves en sobre cuando .Hooley (1988), Theorem. En dimensiones superiores, también es cierto que: cada cúbica suave en sobre tiene un punto racional cuando , proposición demostrada por Roger Heath-Brown.Heath-Brown (1983), Theorem. De manera más general, el teorema de Birch dice que para cualquier entero positivo impar , existe un entero tal que para todo , cada hipersuperficie de grado en sobre tiene un punto racional.

Para hipersuperficies de menor dimensión (en términos de su grado), las cosas pueden ser más complicadas. Por ejemplo, el principio de Hasse falla para la superficie cúbica lisa en sobre proposición demostrada por Ian Cassels y Richard Guy.Colliot-Thélène, Kanevsky & Sansuc (1987), section 7. Jean-Louis Colliot-Thélène ha conjeturado que la obstrucción de Brauer-Manin es la única obstrucción al principio de Hasse para superficies cúbicas. De manera más general, eso debería ser válido para cada variedad racional sobre un cuerpo numérico.Colliot-Thélène (2015), section 6.1.

En algunos casos, se sabe que tiene "muchos" puntos racionales siempre que tiene uno. Por ejemplo, al extender el trabajo de Beniamino Segre y Yuri Manin, János Kollár mostró: para una hipersuperficie cúbica de dimensión al menos 2 sobre un cuerpo perfecto con que no es un cono, es unirracional sobre si tiene un punto racional .Kollár (2002), Theorem 1.1. En particular, para infinito, la uniracionalidad implica que el conjunto de puntos racionales es denso de Zariski en . La conjetura de Manin es una afirmación más precisa que describiría el número de puntos racionales asintóticos de altura acotada en una variedad de Fano.

Contando puntos sobre cuerpos finitos